Giải SBT toán hình học và đại số 11 nâng cao Ôn tập chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượn..

Bài 1.65 trang 19 SBT Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Giải bài 1.65 trang 19 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\(2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1\)

Lời giải chi tiết:

Với điều kiện \(\sin x \ne 0,\) ta có:

\(\eqalign{
& 2\sin x + \cot x = 2\sin 2x + 1 \cr& \Leftrightarrow 2\sin x + \frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 4\sin x\cos x + 1\cr&\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + \cos x = 4{\sin ^2}x\cos x + \sin x \cr 
& \Leftrightarrow \left( {2{{\sin }^2}x - \sin x} \right) - \left( {4{{\sin }^2}x\cos x - \cos x} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \sin x\left( {2\sin x - 1} \right) - \cos x\left( {2\sin x - 1} \right)\left( {2\sin x + 1} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow \left( {2\sin x - 1} \right)\left( {\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x} \right) = 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2\sin x - 1 = 0\\
\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0
\end{array} \right.\)

+) \(2\sin x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \sin x = \frac{1}{2} \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.\)

+) \(\sin x - \cos x - 2\sin x\cos x = 0\)

Đặt \(t = \sin x - \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \) ta có:

\({t^2} = 1 - 2\sin x\cos x \) \(\Rightarrow 2\sin x\cos x = 1 - {t^2}\)

Thay vào phương trình trên ta được:

\(\begin{array}{l}
t - \left( {1 - {t^2}} \right) = 0\\
\Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\left( {TM} \right)\\
t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \sin x - \cos x = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Rightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\\
\Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{{2\sqrt 2 }}\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} = \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x - \frac{\pi }{4} = \pi - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi\),\(x = \frac{\pi }{4} + \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2 } + k2\pi, \)\(x = \frac{{5\pi }}{4} - \arcsin \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2\sqrt 2} + k2\pi \)

LG b

\({\tan ^2}x(1 - {\sin ^3}x) + {\cos ^3}x - 1 = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(x = {\pi  \over 4} + k\pi ,x = 2k\pi ,x = {\pi  \over 4} \pm \alpha  + 2m\pi ,\) với \(\cos \alpha  = {{\sqrt 2  - 1} \over {\sqrt 2 }}\)

Hướng dẫn: Với điều kiện \(\cos x \ne 0,\) ta có:

\(\eqalign{
& {\tan ^2}x(1 - {\sin ^3}x) + {\cos ^3}x - 1 = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^3}x} \right) - {\cos ^2}x\left( {1 - {{\cos }^3}x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\left( {1 - {{\sin }^3}x} \right) - \left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)\left( {1 - {{\cos }^3}x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left[ {\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 + \sin x + {{\sin }^2}x} \right) - \left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 + \cos x + {{\cos }^2}x} \right)} \right]=0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) + \sin x\cos x\left( {\sin x - \cos x} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left( {1 - \cos x} \right)\left( {1 - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x + \sin x\cos x} \right) = 0 \cr} \)

Đối với phương trình \(\sin x + \cos x + \sin x\cos x = 0,\) đặt \(t = \sin x + \cos x\) với \(\left| t \right| \le \sqrt 2 \)

Chú ý rằng tất cả các nghiệm của phương trình \(1 - \sin x = 0\) đều không thỏa mãn điều kiện \(\cos x \ne 0\) nên bị loại.

LG c

\(1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\) 

Lời giải chi tiết:

\(x = {\pi  \over 4} + {{k\pi } \over 2},x =  - {\pi  \over 4} + l\pi \)

Hướng dẫn: Với điều kiện \(\sin 2x \ne 0,\) ta có:

\(\eqalign{
& 1 + \cot 2x = {{1 - \cos 2x} \over {{{\sin }^2}2x}}\cr& \Leftrightarrow {\sin ^2}2x + \sin 2x\cos 2x = 1 - \cos 2x \cr 
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr&\Leftrightarrow {\cos ^2}2x - \cos 2x - \sin 2x\cos 2x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \cos 2x\left( {\cos 2x - \sin 2x - 1} \right) = 0 \cr} \)

Chú ý, loại các giá trị của x không thỏa mãn điều kiện \(\sin 2x \ne 0\)

LG d

 \(6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\)

Lời giải chi tiết:

 Vô nghiệm

Hướng dẫn: Với điều kiện \(\cos 2x \ne 0,\) ta có

\(\eqalign{
& 6\sin x - 2{\cos ^3}x = {{5sin4x\cos x} \over {2\cos 2x}}\cr& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 5sin2x\cos x \cr 
& \Leftrightarrow 6\sin x - 2{\cos ^3}x = 10\sin x{\cos ^2}x \cr&\Leftrightarrow 3\sin x - {\cos ^3}x - 5\sin x{\cos ^2}x = 0 \cr} \)

Với \(\cos x \ne 0,\) chia hai vế cho \({\cos ^3}x\) ta được một phương trình đối cới \(\tan x,\) tuy nhiên các nghiệm của phương trình này đều không thỏa mãn điều kiện \(\cos 2x \ne 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua