Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12


Đề bài

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a\). Các mặt bên \(SAB, SBC, SCA\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Tính thể tích của khối chóp đó.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Áp dụng công thức tính thể tích \({V_{chóp}} = \dfrac{1}{3}Sh\) trong đó \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của khối chóp.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot (ABC)\) và từ \(H\) kẻ \(HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA\).

Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:

\(SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC\) do đó:

+) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \( \widehat {SIH} = {60^0}\)

+) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \( \widehat {SJH} = {60^0}\)

+) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \( \widehat {SKH} = {60^0}\)

Từ đây ta có: \(△SIH = △SJH = △SKH\) (c.g.v.g.n)

\( \Rightarrow IH = JH = KH\)

\( \Rightarrow  H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(△ABC\).

Tam giác \(ABC\) có chu vi: \(2p = AB + BC + CA = 18a \Rightarrow  p = 9a\)

Theo công thức Hê-rông, ta có: \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}\) \(  = \sqrt {9a.4a.2a.3a}  = 6{a^2}\sqrt 6 \)

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\): 

\(IH = r = \displaystyle{{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}\)

Xét tam giác vuông SHI có: \(SH = r . \tan 60^0\) = \(\displaystyle{{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3  = 2a\sqrt 2 \)

Vậy thể tích khối chóp: \({V_{S.ABC}} = \displaystyle{1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6  = 8{a^3}\sqrt 3 \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 13 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài