Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12

Bình chọn:
3.5 trên 8 phiếu

Giải bài 7 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác S.ABC

Đề bài

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có \(AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a\). Các mặt bên \(SAB, SBC, SCA\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Tính thể tích của khối chóp đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau có hình chiếu của đỉnh trùng với tâm đường tròn nội tiếp đáy.

Áp dụng công thức tính thể tích \({V_{chóp}} = \frac{1}{3}Sh\) trong đó \(S\) là diện tích đáy và \(h\) là chiều cao của khối chóp.

Lời giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot (ABC)\) và từ \(H\) kẻ \(HI \bot AB, HJ \bot BC, HK \bot CA\).

Từ định lý ba đường vuông góc, ta suy ra:

\(SI \bot AB, SJ \bot BC, SK \bot AC\) do đó: 

\(\begin{array}{l}
\widehat {\left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SIH} = {60^0}\\
\widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SJH} = {60^0}\\
\widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {SKH} = {60^0}
\end{array}\)

Từ đây ta có: \(△SIH = △SJH = △SKH\) (g.g)

\( \Rightarrow IH = JH = KH\)

\( \Rightarrow  H\) là tâm đường tròn nội tiếp \(△ABC\).

Tam giác \(ABC\) có chu vi: \(2p = AB + BC + CA = 18a \Rightarrow  p = 9a\)

Theo công thức Hê-rông, ta có: \({S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)}\)

           \(  = \sqrt {9a.4a.2a.3a}  = 6{a^2}\sqrt 6 \)

Bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\): 

\(IH = r = {{{S_{ABC}}} \over p} = {{6{a^2}\sqrt 6 } \over {9a}} \Rightarrow IH = {{2a\sqrt 6 } \over 3}\)

Xét tam giác vuông SHI có: \(SH = r . tan60^0\) = \({{2a\sqrt 6 } \over 3}.\sqrt 3  = 2a\sqrt 2 \)

Vậy thể tích khối chóp: \({V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.2a\sqrt 2 .6{a^2}\sqrt 6  = 8{a^3}\sqrt 3 \)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Ôn tập chương I - Khối đa diện

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu