Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12

Bình chọn:
3.7 trên 9 phiếu

Giải bài 6 trang 26 SGK Hình học 12 . Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có cạnh \(AB\) bằng \(a\). Các cạnh bên \(SA, SB, SC\) tạo với đáy một góc \(60^0\). Gọi \(D\) là giao điểm của \(SA\) với mặt phẳng qua \(BC\) và vuông góc với \(SA\).

LG a

a) Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp \(S.DBC\) và \(S.ABC\).

Phương pháp giải:

+ Hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

Qua B kẻ \(BD \bot SA\), chứng minh mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA là \((BCD)\).

+ Sử dụng công thức tỉ số thể tích: \(\dfrac{{{V_{S.DBC}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}.\dfrac{{SB}}{{SB}}.\dfrac{{SC}}{{SC}} = \dfrac{{SD}}{{SA}}\).

Giải chi tiết:

Vì hình chóp \(\displaystyle S.ABC\) là hình chóp đều nên chân đường cao \(\displaystyle H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp đáy, theo giả thiết, ta có: góc \(\displaystyle SAH = 60^0\). Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của cạnh \(\displaystyle BC\) thì \(\displaystyle AM\) là đường cao của tam giác đều \(\displaystyle ABC\):

\(\displaystyle AM = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

\(\displaystyle AH = {2 \over 3}.AM = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

\(\displaystyle SA = {{AH} \over {c{\rm{os}}{{60}^0}}}\) = \(\displaystyle {{2a\sqrt 3 } \over 3}=SB\)

Xét tam giác vuông SBM ta có: \(\displaystyle SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}}  = \frac{{a\sqrt {39} }}{6}\).

Qua B kẻ \(\displaystyle BD \bot SA\), khi đó ta có: 

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AM\\
BC \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SA\\
\left\{ \begin{array}{l}
SA \bot BC\\
SA \bot BD
\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {BCD} \right)
\end{array}\)

Khi đó mặt phẳng (BCD) đi qua BC và vuông góc với SA.

\(\displaystyle SA \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow SA \bot DM\)

Xét tam giác vuông ADM có: \(\displaystyle DM = AM.\sin 60 = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3a}}{4}\)

Xét tam giác vuông SDM có: \(\displaystyle SD = \sqrt {S{M^2} - D{M^2}}  = \frac{{5\sqrt 3 }}{{12}}a\)

Áp dụng công thức tỉ số thể tích trong bài tập 4, 3 (trang 37 SGK) ta được:

\(\displaystyle {{{V_{S.DBC}}} \over {{V_{S.ABC}}}} = {{SD} \over {SA}}.{{SB} \over {SB}}.{{SC} \over {SC}} \) \(\displaystyle = {{5a\sqrt 3 } \over {12}}:{{2a\sqrt 3 } \over 3} = {5 \over 8}\)

LG b

b) Tính thể tích của khối chóp \(S.DBC\).

Phương pháp giải:

Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\) sau đó tính thể tích khối chóp \(S.DBC\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle S_{ABC}\) = \(\displaystyle {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\);    \(\displaystyle SH = AH.tan60^0 = a\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}.SH.{S_{ABC}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Từ kết quả câu a) ta có:

\(\displaystyle {V_{S.DBC}} = {5 \over 8}.{V_{S.ABC}}\) \(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.BDC}} = {5 \over 8}.{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow {V_{S.DBC}} = {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {96}}\)

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.

Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay