Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12

Bình chọn:
3.4 trên 8 phiếu

Giải bài 11 trang 27 SGK Hình học 12. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) theo thứ tự là trung điểm của các cạnh \(BB'\) và \(DD'\). Mặt phẳng \((CEF)\) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện. Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (CEF).

+) Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

Lời giải chi tiết

Ta xác định thiết diện của hình hộp \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) khi cắt bởi \(\displaystyle (CEF)\). Mặt phẳng \(\displaystyle (CEF)\) chứa đường thẳng \(\displaystyle EF\) mà \(\displaystyle E\) là trung điểm của \(\displaystyle BB', F\) là trung điểm của \(\displaystyle CC'\).

\(\displaystyle O \in EF \Rightarrow O \in CEF \Rightarrow CO \subset \left( {CEF} \right)\)

\(\displaystyle A' \in CO \Rightarrow A' \in \left( {CEF} \right)\)

Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành \(\displaystyle CEA'F\).

Mặt phẳng (CEA'F) chia khối hộp thành 2 phần: ABCD.A'ECF  (\(\displaystyle V_1\)) và A'B'C'D'.CEA'F (\(\displaystyle V_2\))

Qua \(\displaystyle EF\) ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt \(\displaystyle AA'\) ở \(\displaystyle P\) và cắt \(\displaystyle CC'\) ở \(\displaystyle Q\).

Ta có:

\(\displaystyle \begin{array}{l}
{V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{A'.PEF}}\\
{V_{A'PEF}} = {V_{C.QEF}}
\end{array}\)

\(\Rightarrow {V_{ABCD.A'ECF}} = {V_{ABCD.EFP}} + {V_{C.QEF}} \) \(= {V_{ABCD.EPFQ}} = \frac{1}{2}V\)

Do đó \(\displaystyle {V_1} = {V_2} = \frac{1}{2}V \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 1\).

Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm \(\displaystyle O\) của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng \(\displaystyle (CEF)\) chứa điểm \(\displaystyle O\) nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm \(\displaystyle O\). Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.