Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12


Giải bài 10 trang 27 SGK Hình học 12. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hình lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\).

LG a

a) Tính thể tích khối tứ diện \(A'BB'C\).

Phương pháp giải:

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\). Chứng minh \(A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)\). Áp dụng công thức \({V_{A'BB'C}} = \dfrac{1}{3}A'M.{S_{BB'C}}\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính thể tích hình chóp \(\displaystyle A'.BCB'\).

Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle B'C'\), ta có: \(\displaystyle A'M \bot B'C'\)       (1)

Lăng trụ \(\displaystyle ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên:

\(\displaystyle BB' \bot (A'B'C') \Rightarrow BB' \bot A'M\)           (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\displaystyle A'M \bot (BB'C')\) hay \(\displaystyle A'M\) là đường cao của hình chóp \(\displaystyle A'.BCB'\).

Ta có: \(\displaystyle A'M\) = \(\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2};{S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}}\) \( \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}\)

Cách khác:

Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp A’.ABC, C.A’B’C’ và C.A’BB’

Ta có: VA’.ABC = VA’B’C’ =\(\frac{1}{3}Sh\) trong đó S là diện tích đáy S = SABC = SA’B’C’ và h là chiều cao của hình lăng trụ

Lại có: VABC.A’B’C’ = S.h

Do đó, \({V_{C.A'B'B}} = Sh - \frac{1}{3}Sh - \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh\)

Trong đó, tam giác ABC là tam giác đều có độ dài cạnh bằng a nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên h = AA’ = BB’= CC’ = a.

Vậy thể tích hình chóp C.A’BB’ là:

\({V_{C.A'B'B}} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)

LG b

b) Mặt phẳng đi qua \(A'B'\) và trọng tâm tam giác \(ABC\), cắt \(AC\) và \(BC\) lần lượt tại \(E\) và \(F\). Tính thể tích hình chóp \(C.A'B'FE\).

Phương pháp giải:

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: \(V = {V_{B'.CEF}} + {V_{B'.A'EC}} = {V_1} + {V_2}\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình chóp \(\displaystyle C.A'B'EF\) bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- \(\displaystyle V_1\) là thể tích hình chóp đỉnh \(\displaystyle B'\), đáy là tam giác \(\displaystyle CEF\).

- \(\displaystyle V_2\) là thể tích hình chóp đỉnh \(\displaystyle B'\), đáy là tam giác \(\displaystyle A'EC\).

Do \(\displaystyle (ABC) // (A'B'C')\) nên dễ thấy \(\displaystyle EF // AB\). Ta cũng có: \(\displaystyle EF\) = \(\displaystyle {2 \over 3}a\)

Hình chóp \(\displaystyle B'.CEF\) có chiều cao \(\displaystyle BB' = a\) và diện tích đáy là: \(\displaystyle {S_{C{\rm{EF}}}}=\frac{1}{2}EF.CG = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}\)

Từ đây ta có: \(\displaystyle {V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}\)

Do \(\displaystyle EC = {2 \over 3}AC\) nên \(\displaystyle {S_{A'BE}} = \frac{1}{2}A'A.EC = \frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^2}}}{3}\)

Gọi \(\displaystyle I\) là trung điểm của \(\displaystyle A'C'\) ta có: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}B'I \bot A'C\\B'I \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'I \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow B'I \bot \left( {A'EC} \right)\)

Hình chóp \(\displaystyle B'.A'EC\) có chiều cao là \(\displaystyle B'I\) bằng \(\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}\) nên \(\displaystyle {V_2} = \frac{1}{3}.B'I.{S_{A'EC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)

Vậy thể tích hình chóp \(\displaystyle C.A'B'FE\) là: \(\displaystyle V = V_1 + V_2\) = \(\displaystyle {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.5 trên 10 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài