Giải bài 5 trang 26 SGK Hình học 12. Cho hình chóp tam giác O.ABC
Đề bài
Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.
+) Gọi \(H\) là trọng tâm của \(\Delta{ABC}\), chứng minh \(OH \bot (ABC)\).
+) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(OH\).
Lời giải chi tiết
Kẻ \(\displaystyle AD\bot BC, OH \bot AD\) ta chứng minh \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot OA\\
BC \bot AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
AC \bot BH\\
AC \bot OB
\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {OBH} \right) \Rightarrow AC \bot OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.
\(\displaystyle BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {OAD} \right) \Rightarrow BC \bot AD\). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OBC ta có:
\(\displaystyle OD.BC = OB.OC\) nên \(\displaystyle OD ={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\) . Từ đó suy ra
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông OAD ta có: \(\displaystyle AD = \sqrt {{a^2} + {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) = \(\displaystyle \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAD ta có: \(\displaystyle OH.AD = OA.OD\) nên
\(\displaystyle OH = {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}} \) \(\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\).
Chú ý: Ta thấy khi chóp tứ giác là chóp vuông (OA, OB, OC đôi một vuông góc) thì: \(\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\). Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.
Loigiaihay.com
>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.
Lớp 12
