Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12

Cho hình chóp tam giác O.ABC

Đề bài

Cho hình chóp tam giác $O.ABC$ có ba cạnh $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OA = a, OB = b, OC = c$ . Hãy tính đường cao $OH$ của hình chóp.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Gọi $H$ là trọng tâm của $\Delta{ABC}$ , chứng minh $OH \, \bot \,(ABC)$ .

+) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính $OH$ .

Lời giải chi tiết

Kẻ $\displaystyle AD\,\bot \, BC, OH \, \bot \, AD$ ta chứng minh $\displaystyle OH$ chính là đường cao của hình chóp.

$\displaystyle \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BC \, \bot \, OA\\ BC \, \bot \, AH \end{array} \right. \Rightarrow BC \, \bot \, \left( {OAH} \right) \\\Rightarrow BC \, \bot \, OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} AC \, \bot \, BH\\ AC \, \bot \, OB \end{array} \right. \Rightarrow AC \, \bot \, \left( {OBH} \right) \\\Rightarrow AC \, \bot \, OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ \left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH \, \bot \, \left( {ABC} \right) \end{array}$

Vậy $\displaystyle OH$ chính là đường cao của hình chóp.

$\displaystyle BC \, \bot \, \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \, \bot \, \left( {OAD} \right)$ $\Rightarrow BC \bot OD$ .

Tam giác $OBC$ vuông tại $O$ nên $BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OBC$ ta có:

$\displaystyle OD.BC = OB.OC$ nên $\displaystyle OD = \frac{{OB.OC}}{{BC}}={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}$ .

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông $OAD$ ta có:

$\displaystyle AD = \sqrt {A{O^2} + O{D^2}}$ $= \sqrt {{a^2} + \dfrac {{b^2}{c^2}} {{b^2} + {c^2}}}$

$\displaystyle = \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ .

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $OAD$ ta có: $\displaystyle OH.AD = OA.OD$ nên

$\displaystyle OH = \dfrac{{OA.OD}}{{AD}}$ $=\displaystyle {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}$ $\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}$ .

Cách khác:

Tam giác $OBC$ vuông tại $O$ có $OD$ là đường cao nên $\displaystyle \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$

Tam giác $AOD$ vuông tại $O$ có chiều cao $OH$ nên

$\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}$

$\Rightarrow O{H^2} =\displaystyle \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}$

$\Rightarrow OH = \displaystyle \frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}$

Chú ý: Ta thấy khi $OABC$ là tứ diện vuông ( $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc) thì: $\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}$ .

Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.6 trên 25 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a.
Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC
Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'
Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện
Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
Bài 1 trang 27 SGK Hình học 12
Giải bài 1 trang 27 SGK Hình học 12. Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 2 trang 27 SGK Hình học 12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 3 trang 27 SGK Hình học 12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 4 trang 28 SGK Hình học 12
Giải bài 4 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bài 5 trang 28 SGK Hình học 12
Giải bài 5 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bài 6 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABC. Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng:
Bài 7 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng:
Bài 8 trang 28 SGK Hình học 12
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:
Bài 9 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB'D' và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng:
Bài 10 trang 28 SGK Hình học 12
Tỉ số thể tích của khối chóp O.A'B'C'D' và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng:
Bài 4 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau.
Bài 3 trang 26 SGK Hình học 12
Thế nào là một khối đa diện lồi?
Bài 2 trang 26 SGK Hình học 12
Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.
Bài 1 trang 26 SGK Hình học 12
Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.