-
PHẦN GIẢI TÍCH - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC - TOÁN 12
-
Câu hỏi tự luyện Toán 12
-
TẢI 35 ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT TOÁN 12
-
TẢI 35 ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TOÁN 12
-
TẢI 5 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1 TOÁN 12
-
TẢI 20 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 12
-
TẢI 6 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 12
-
TẢI 25 ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TOÁN 12
-
TẢI 90 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT
Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC
Đề bài
Cho hình chóp tam giác \(O.ABC\) có ba cạnh \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc với nhau và \(OA = a, OB = b, OC = c\). Hãy tính đường cao \(OH\) của hình chóp.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi \(H\) là trọng tâm của \(\Delta{ABC}\), chứng minh \(OH \, \bot \,(ABC)\).
+) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(OH\).
Lời giải chi tiết
Kẻ \(\displaystyle AD\,\bot \, BC, OH \, \bot \, AD\) ta chứng minh \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.
\(\displaystyle \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \, \bot \, OA\\
BC \, \bot \, AH
\end{array} \right. \Rightarrow BC \, \bot \, \left( {OAH} \right) \\\Rightarrow BC \, \bot \, OH\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
\left\{ \begin{array}{l}
AC \, \bot \, BH\\
AC \, \bot \, OB
\end{array} \right. \Rightarrow AC \, \bot \, \left( {OBH} \right) \\\Rightarrow AC \, \bot \, OH\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow OH \, \bot \, \left( {ABC} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\displaystyle OH\) chính là đường cao của hình chóp.
\(\displaystyle BC \, \bot \, \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \, \bot \, \left( {OAD} \right) \) \(\Rightarrow BC \bot OD\).
Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\) nên \(BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OBC\) ta có:
\(\displaystyle OD.BC = OB.OC\) nên \(\displaystyle OD = \frac{{OB.OC}}{{BC}}={{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\).
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông \(OAD\) ta có:
\(\displaystyle AD = \sqrt {A{O^2} + O{D^2}} \) \(= \sqrt {{a^2} + \dfrac {{b^2}{c^2}} {{b^2} + {c^2}}}\)
\(\displaystyle = \sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}}\) .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(OAD\) ta có: \(\displaystyle OH.AD = OA.OD\) nên
\(\displaystyle OH = \dfrac{{OA.OD}}{{AD}}\) \(=\displaystyle {{abc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}:\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}} \) \(\displaystyle = {{abc} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\).
Cách khác:
Tam giác \(OBC\) vuông tại \(O\) có \(OD\) là đường cao nên \(\displaystyle \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\)
Tam giác \(AOD\) vuông tại \(O\) có chiều cao \(OH\) nên
\(\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{D^2}}}\) \(\displaystyle = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\) \( \displaystyle = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = \frac{{{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}}}{{{a^2}{b^2}{c^2}}}\)
\( \Rightarrow O{H^2} =\displaystyle \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\)
\( \Rightarrow OH = \displaystyle \frac{{abc}}{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} }}\)
Chú ý: Ta thấy khi \(OABC\) là tứ diện vuông (\(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc) thì: \(\displaystyle \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} + \frac{1}{{O{C^2}}}\).
Từ nay về sau các em sử dụng kết quả này để các bài toán nhanh chóng hơn.
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12
- Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12
- Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12
- Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
- Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
