-
PHẦN GIẢI TÍCH - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC - TOÁN 12
-
Câu hỏi tự luyện Toán 12
-
TẢI 35 ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT TOÁN 12
-
TẢI 35 ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT TOÁN 12
-
TẢI 5 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 1 TOÁN 12
-
TẢI 20 ĐỀ THI HỌC KÌ 1 TOÁN 12
-
TẢI 6 ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 12
-
TẢI 25 ĐỀ THI HỌC KÌ 2 TOÁN 12
-
TẢI 90 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT
Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
Video hướng dẫn giải
Cho hình lập phương \(\displaystyle ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(\displaystyle a\). Gọi \(\displaystyle M\) là trung điểm của \(\displaystyle A'B', N\) là trung điểm của \(\displaystyle BC\).
LG a
a) Tính thể tích khối tứ diện \(\displaystyle ADMN\).
Phương pháp giải:
Coi khối tứ diện \(ADMN\) có đỉnh \(M\) và đáy \(ADN\). Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: \({V_{ADMN}} = {V_{M.ADN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}}\)
Lời giải chi tiết:
a) Ta tính thể tích hình chóp \(\displaystyle M.ADN\). Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ANCD) bằng \(\displaystyle a\) và diện tích đáy \(\displaystyle {S_{ADN}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow {V_{ADMN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}} \) \(\displaystyle = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)
LG b
b) Mặt phẳng \(\displaystyle (DMN)\) chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi \(\displaystyle (H)\) là khối đa diện chứa đỉnh \(\displaystyle A, (H')\) là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số \(\displaystyle {{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}}\).
Phương pháp giải:
Dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng \((DMN)\), xác định hai phần khối đa diện cẩn tính thể tích .
Lời giải chi tiết:
Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \(\displaystyle (DMN)\).
Do \(\displaystyle (ABCD) // (A'B'C'D')\) nên \(\displaystyle (DMN)\) cắt \(\displaystyle (A'B'C'D')\) theo một giao tuyến song song với \(\displaystyle DN\). Ta dựng thiết diện như sau:
- Từ \(\displaystyle M\) kẻ đường thẳng song song với \(\displaystyle DN\), đường này cắt cạnh \(\displaystyle A'D'\) tại điểm \(\displaystyle P\) và cắt đường thẳng \(\displaystyle C'B'\) tại điểm \(\displaystyle Q\). Trong mặt phẳng \(\displaystyle (BCC'B')\) thì \(\displaystyle QN\) cắt cạnh \(\displaystyle BB'\) tại điểm \(\displaystyle R\); đa giác \(\displaystyle DNRMP\) chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi \(\displaystyle (DMN)\).
- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện \(\displaystyle ABNDPMR\). Ta có: \({V_{ABNDPMR}} = {V_{M.ABND}} + {V_{M.NRB}} + {V_{M.AA'PD}} \) \(= {V_1} + {V_2} + {V_3}\)
Hình chóp \(\displaystyle M.ABND\), có đường cao bằng \(\displaystyle a\), diện tích đáy là hình thang \(\displaystyle ABND\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 2} + a} \right).a = {{3{a^2}} \over 4}\)
Suy ra: \(\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a \Rightarrow {V_1} = {{{a^3}} \over 4}\)
Dễ dàng chứng minh được \(\displaystyle \Delta CND\) và \(\displaystyle \Delta A'PM\) đồng dạng (g.g) nên \(\displaystyle \frac{{A'P}}{{CN}} = \frac{{A'M}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A'P = \frac{1}{2}CN = \frac{a}{4}\)
Hình chóp \(\displaystyle M.AA'PD\) có chiều cao \(\displaystyle {a \over 2}\) và diện tích hình thang \(\displaystyle AA'PD\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 4} + a} \right).a = {{5{a^2}} \over 8}\)
Suy ra: \(\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{5{a^2}} \over 8} \Rightarrow {V_2} = {{5{a^2}} \over {48}}\)
Ta có: \(\displaystyle \Delta A'PM = \Delta B'QM \Rightarrow B'Q = A'P\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{{B'R}}{{BR}} = \frac{{B'Q}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BR = \frac{{2a}}{3}\)
Diện tích tam giác \(\displaystyle NRB\) là: \(\displaystyle {1 \over 2}.{2 \over 3}a.{a \over 2} = {{{a^2}} \over 6}\)
Hình chóp \(\displaystyle M.NRB\) có chiều cao \(\displaystyle {a \over 2}\) và diện tích đáy \(\displaystyle {{{a^2}} \over 6}\) nên:
\(\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{{a^2}} \over 6} \Rightarrow {V_3} = {{{a^3}} \over {36}}\)
\(\displaystyle {V_{ABNDPMR}} = {V_1} + {V_2} + {V_3} \) \(\displaystyle = {{5{a^3}} \over {48}} + {{{a^3}} \over 4} + {{{a^3}} \over {36}} = {{55{a^3}} \over {144}}\)
Thể tích phần còn lại là: \(\displaystyle {{144{a^3}} \over {144}} - {{55{a^3}} \over {144}} = {{89{a^3}} \over {144}}\)
Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: \(\displaystyle {{55} \over {89}}\)
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 1 trang 27 SGK Hình học 12
- Bài 2 trang 27 SGK Hình học 12
- Bài 3 trang 27 SGK Hình học 12
- Bài 4 trang 28 SGK Hình học 12
- Bài 5 trang 28 SGK Hình học 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
