Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học

Ôn tập chương I - Khối đa diện

Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hình lập phương $\displaystyle ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $\displaystyle a$ . Gọi $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle A'B', N$ là trung điểm của $\displaystyle BC$ .

LG a

a) Tính thể tích khối tứ diện $\displaystyle ADMN$ .

Phương pháp giải:

Coi khối tứ diện $ADMN$ có đỉnh $M$ và đáy $ADN$ . Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp: ${V_{ADMN}} = {V_{M.ADN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}}$

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính thể tích hình chóp $\displaystyle M.ADN$ . Hình chóp này có chiều cao bằng khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ANCD) bằng $\displaystyle a$ và diện tích đáy $\displaystyle {S_{ADN}} = \frac{1}{2}.a.a = \frac{{{a^2}}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow {V_{ADMN}} = \frac{1}{3}d\left( {M;\left( {ADN} \right)} \right).{S_{ADN}}$ $\displaystyle = \frac{1}{3}.a.\frac{1}{2}{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}$

LG b

b) Mặt phẳng $\displaystyle (DMN)$ chia khối lập phương đã cho thành hai khối đa diện. Gọi $\displaystyle (H)$ là khối đa diện chứa đỉnh $\displaystyle A, (H')$ là khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\displaystyle {{{V_{(H)}}} \over {{V_{(H')}}}}$ .

Phương pháp giải:

Dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi mặt phẳng $(DMN)$ , xác định hai phần khối đa diện cẩn tính thể tích .

Lời giải chi tiết:

Trước hết, ta dựng thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi $\displaystyle (DMN)$ .

Do $\displaystyle (ABCD) // (A'B'C'D')$ nên $\displaystyle (DMN)$ cắt $\displaystyle (A'B'C'D')$ theo một giao tuyến song song với $\displaystyle DN$ . Ta dựng thiết diện như sau:

- Từ $\displaystyle M$ kẻ đường thẳng song song với $\displaystyle DN$ , đường này cắt cạnh $\displaystyle A'D'$ tại điểm $\displaystyle P$ và cắt đường thẳng $\displaystyle C'B'$ tại điểm $\displaystyle Q$ . Trong mặt phẳng $\displaystyle (BCC'B')$ thì $\displaystyle QN$ cắt cạnh $\displaystyle BB'$ tại điểm $\displaystyle R$ ; đa giác $\displaystyle DNRMP$ chính là thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi $\displaystyle (DMN)$ .

- Bây giờ ta tính thể tích khối đa diện $\displaystyle ABNDPMR$ . Ta có: ${V_{ABNDPMR}} = {V_{M.ABND}} + {V_{M.NRB}} + {V_{M.AA'PD}}$ $= {V_1} + {V_2} + {V_3}$

Hình chóp $\displaystyle M.ABND$ , có đường cao bằng $\displaystyle a$ , diện tích đáy là hình thang $\displaystyle ABND$ là: $\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 2} + a} \right).a = {{3{a^2}} \over 4}$

Suy ra: $\displaystyle {V_1} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a \Rightarrow {V_1} = {{{a^3}} \over 4}$

Dễ dàng chứng minh được $\displaystyle \Delta CND$ và $\displaystyle \Delta A'PM$ đồng dạng (g.g) nên $\displaystyle \frac{{A'P}}{{CN}} = \frac{{A'M}}{{CD}} = \frac{1}{2} \Rightarrow A'P = \frac{1}{2}CN = \frac{a}{4}$

Hình chóp $\displaystyle M.AA'PD$ có chiều cao $\displaystyle {a \over 2}$ và diện tích hình thang $\displaystyle AA'PD$ là: $\displaystyle {1 \over 2}\left( {{a \over 4} + a} \right).a = {{5{a^2}} \over 8}$

Suy ra: $\displaystyle {V_2} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{5{a^2}} \over 8} \Rightarrow {V_2} = {{5{a^2}} \over {48}}$

Ta có: $\displaystyle \Delta A'PM = \Delta B'QM \Rightarrow B'Q = A'P$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{{B'R}}{{BR}} = \frac{{B'Q}}{{NB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BR = \frac{{2a}}{3}$

Diện tích tam giác $\displaystyle NRB$ là: $\displaystyle {1 \over 2}.{2 \over 3}a.{a \over 2} = {{{a^2}} \over 6}$

Hình chóp $\displaystyle M.NRB$ có chiều cao $\displaystyle {a \over 2}$ và diện tích đáy $\displaystyle {{{a^2}} \over 6}$ nên:

$\displaystyle {V_3} = {1 \over 3}.{a \over 2}.{{{a^2}} \over 6} \Rightarrow {V_3} = {{{a^3}} \over {36}}$

$\displaystyle {V_{ABNDPMR}} = {V_1} + {V_2} + {V_3}$ $\displaystyle = {{5{a^3}} \over {48}} + {{{a^3}} \over 4} + {{{a^3}} \over {36}} = {{55{a^3}} \over {144}}$

Thể tích phần còn lại là: $\displaystyle {{144{a^3}} \over {144}} - {{55{a^3}} \over {144}} = {{89{a^3}} \over {144}}$

Từ đây suy ra tỉ số cần tìm là: $\displaystyle {{55} \over {89}}$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.3 trên 12 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 1 trang 27 SGK Hình học 12
Giải bài 1 trang 27 SGK Hình học 12. Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 2 trang 27 SGK Hình học 12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 3 trang 27 SGK Hình học 12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 4 trang 28 SGK Hình học 12
Giải bài 4 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bài 5 trang 28 SGK Hình học 12
Giải bài 5 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bài 6 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABC. Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng:
Bài 7 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng:
Bài 8 trang 28 SGK Hình học 12
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:
Bài 9 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB'D' và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng:
Bài 10 trang 28 SGK Hình học 12
Tỉ số thể tích của khối chóp O.A'B'C'D' và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng:
Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện
Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'
Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC
Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a.
Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC
Bài 4 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau.
Bài 3 trang 26 SGK Hình học 12
Thế nào là một khối đa diện lồi?
Bài 2 trang 26 SGK Hình học 12
Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.
Bài 1 trang 26 SGK Hình học 12
Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.