Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học

Ôn tập chương I - Khối đa diện

Bài 10 trang 27 SGK Hình học 12

Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C'

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cho hình lăng trụ đứng tam giác $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ .

LG a

a) Tính thể tích khối tứ diện $A'BB'C$ .

Phương pháp giải:

Gọi $M$ là trung điểm của $B'C'$ . Chứng minh $A'M \bot \left( {BCC'B'} \right)$ . Áp dụng công thức ${V_{A'BB'C}} = \dfrac{1}{3}A'M.{S_{BB'C}}$ .

Lời giải chi tiết:

a) Ta tính thể tích hình chóp $\displaystyle A'.BCB'$ .

Gọi $\displaystyle M$ là trung điểm của $\displaystyle B'C'$ , ta có: $\displaystyle A'M \bot B'C'$ (1)

Lăng trụ $\displaystyle ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên:

$\displaystyle BB' \bot (A'B'C') \Rightarrow BB' \bot A'M$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\displaystyle A'M \bot (BB'C')$ hay $\displaystyle A'M$ là đường cao của hình chóp $\displaystyle A'.BCB'$ .

Ta có: $\displaystyle A'M$ = $\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2};{S_{BB'C}} = {1 \over 2}{a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow {V_{A'BB'C}} = {1 \over 3}.A'M.{S_{BB'C}}$ $\Rightarrow {V_{A'BB'C}} =\displaystyle {{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}$

Cách khác:

Ta chia khối lẳng trụ đã cho thành hình chóp $A’.ABC, C.A’B’C’$ và $C.A’BB’$

Ta có: ${V_{A'.ABC}} = {V_{A'B'C'}} =\displaystyle \frac{1}{3}Sh$ trong đó $S$ là diện tích đáy $S = {\rm{ }}{S_{ABC\;}} = {\rm{ }}{S_{ABC}}$ và $h$ là chiều cao của hình lăng trụ

Lại có: ${V_{ABC.ABC}}\; = {\rm{ }}S.h$

Do đó, ${V_{C.A'B'B}} =\displaystyle Sh - \frac{1}{3}Sh - \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}Sh$

Trong đó, tam giác $ABC$ là tam giác đều có độ dài cạnh bằng $a$ nên $\displaystyle {S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Vì đây là hình lăng trụ đứng nên $h = AA’ = BB’= CC’ = a.$

Vậy thể tích hình chóp $C.A’BB’$ là:

${V_{C.A'B'B}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$

LG b

b) Mặt phẳng đi qua $A'B'$ và trọng tâm tam giác $ABC$ , cắt $AC$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$ . Tính thể tích hình chóp $C.A'B'FE$ .

Phương pháp giải:

Phân chia và lắp ghép các khối đa diện: $V = {V_{B'.CEF}} + {V_{B'.A'EC}} = {V_1} + {V_2}$

Lời giải chi tiết:

Thể tích hình chóp $\displaystyle C.A'B'EF$ bằng tổng thể tích hai hình chóp:

- $\displaystyle V_1$ là thể tích hình chóp đỉnh $\displaystyle B'$ , đáy là tam giác $\displaystyle CEF$ .

- $\displaystyle V_2$ là thể tích hình chóp đỉnh $\displaystyle B'$ , đáy là tam giác $\displaystyle A'EC$ .

Do $\displaystyle (ABC) // (A'B'C')$ nên dễ thấy $\displaystyle EF // AB$ . Ta cũng có: $\displaystyle EF$ = $\displaystyle {2 \over 3}a$

Hình chóp $\displaystyle B'.CEF$ có chiều cao $\displaystyle BB' = a$ và diện tích đáy là: $\displaystyle {S_{C{\rm{EF}}}}=\frac{1}{2}EF.CG = {1 \over 2}.{{2a} \over 3}.{2 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 9}$

Từ đây ta có: $\displaystyle {V_1} = {{{a^3}\sqrt 3 } \over {27}}$

Do $\displaystyle EC = {2 \over 3}AC$ nên $\displaystyle {S_{A'BE}} = \frac{1}{2}A'A.EC = \frac{1}{2}.a.\frac{2}{3}a = \frac{{{a^2}}}{3}$

Gọi $\displaystyle I$ là trung điểm của $\displaystyle A'C'$ ta có: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}B'I \bot A'C\\B'I \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow B'I \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow B'I \bot \left( {A'EC} \right)$

Hình chóp $\displaystyle B'.A'EC$ có chiều cao là $\displaystyle B'I$ bằng $\displaystyle {{a\sqrt 3 } \over 2}$ nên $\displaystyle {V_2} = \frac{1}{3}.B'I.{S_{A'EC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}$

Vậy thể tích hình chóp $\displaystyle C.A'B'FE$ là: $\displaystyle V = V_1 + V_2$ = $\displaystyle {{5{a^3}\sqrt 3 } \over {54}}$

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.1 trên 17 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 11 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BB' và DD'. Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp trên làm hai khối đa diện
Bài 12 trang 27 SGK Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a.
Bài 1 trang 27 SGK Hình học 12
Giải bài 1 trang 27 SGK Hình học 12. Trong số các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 2 trang 27 SGK Hình học 12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 3 trang 27 SGK Hình học 12
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Bài 4 trang 28 SGK Hình học 12
Giải bài 4 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bài 5 trang 28 SGK Hình học 12
Giải bài 5 trang 28 SGK Hình học 12. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
Bài 6 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABC. Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm của SA và SB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C' và S.ABC bằng:
Bài 7 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của SA, SB, SC, SD. Tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng:
Bài 8 trang 28 SGK Hình học 12
Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a là:
Bài 9 trang 28 SGK Hình học 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB'D' và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng:
Bài 10 trang 28 SGK Hình học 12
Tỉ số thể tích của khối chóp O.A'B'C'D' và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng:
Bài 9 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
Bài 7 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC
Bài 6 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB bằng a.
Bài 5 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình chóp tam giác O.ABC
Bài 4 trang 26 SGK Hình học 12
Cho hình lăng trụ và hình chóp có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau.
Bài 3 trang 26 SGK Hình học 12
Thế nào là một khối đa diện lồi?
Bài 2 trang 26 SGK Hình học 12
Tìm một hình tạo bởi các đa giác nhưng không phải là một đa diện.
Bài 1 trang 26 SGK Hình học 12
Các đỉnh, cạnh, mặt của một đa diện phải thoả mãn những tính chất nào?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.