Bài 4.38 trang 208 SBT giải tích 12


Giải bài 4.38 trang 208 sách bài tập giải tích 12.Tìm số phức z, biết:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm số phức \(z\), biết:

LG a

\(\overline z  = {z^3}\)

Phương pháp giải:

Nhân cả hai vế với \(z\) và đặt \(z = a + bi\), biến đổi phương trình suy ra \(a,b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(z\overline z  = {\left| z \right|^2}\) nên từ \(\overline z  = {z^3} \Rightarrow {\left| z \right|^2} = {z^4}\)

Đặt \(z  = a+ bi\), suy ra:

\(\begin{array}{l}
{a^2} + {b^2} = {\left( {a + bi} \right)^4} = {\left[ {{{\left( {a + bi} \right)}^2}} \right]^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {{a^2} - {b^2} + 2abi} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} + {\left( {2abi} \right)^2}\\
- 2{a^2}{b^2} - 2{b^2}.2abi + 2{a^2}.2abi\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 4{a^2}{b^2}\\
- 2{a^2}{b^2} - 4a{b^3}bi + 4{a^3}bi\\
\Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2}\\
+ 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i\\
\Leftrightarrow {a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2}\\
+ 4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)i = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{a^2}{b^2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 0\,\,\left( 1 \right)\\
{a^4} + {b^4} - 6{a^2}{b^2} - {a^2} - {b^2} = 0\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{a^2} = 0\\
{b^2} = 0\\
{a^2} - {b^2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
b = 0\\
{a^2} = {b^2}
\end{array} \right.\)

+) Nếu \(a = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) được \({b^4} - {b^2} = 0 \Leftrightarrow {b^2}\left( {{b^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{b^2} = 0\\{b^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\b =  \pm 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z = i\\z =  - i\end{array} \right.\)

+) Nếu \(b = 0\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được \({a^4} - {a^2} = 0 \Leftrightarrow {a^2}\left( {{a^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{a^2} = 0\\{a^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  \pm 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}z = 0\\z =  \pm 1\end{array} \right.\)

+) Nếu \({a^2} = {b^2}\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta được:

\({a^4} + {a^4} - 6{a^4} - {a^2} - {a^2} = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4{a^4} - 2{a^2} = 0\)  \( \Leftrightarrow  - 2{a^2}\left( {2{a^2} + 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 0\)

(vì \(2{a^2} + 1 > 0,\forall a\) )

\( \Rightarrow b = a = 0 \Rightarrow z = 0\)

Vậy các số phức cần tìm là \(z = 0,z =  \pm 1,z =  \pm i\).

LG b

\(|z| + z = 3 + 4i\)

Phương pháp giải:

Đặt \(z = a + bi\) thay vào điều kiện bài cho tìm \(a,b\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(z = a + bi\). Từ \(\left| z \right| + z = 3 + 4i\;\)suy ra

\(\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a + bi = 3 + 4i\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a - 3 + \left( {b - 4} \right)i = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + a - 3 = 0\\b - 4 = 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(b - 4 = 0 \Leftrightarrow b = 4\) thay vào phương trình trên ta được:

\(\sqrt {{a^2} + 16}  + a - 3 = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 16}  = 3 - a\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 - a \ge 0\\{a^2} + 16 = 9 - 6a + {a^2}\end{array} \right.\)  \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\6a + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \le 3\\a =  - \dfrac{7}{6}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow a =  - \dfrac{7}{6}\)

\( \Rightarrow z =  - \dfrac{7}{6} + 4i\)

Vậy \(z =  - \dfrac{7}{6} + 4i\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Ôn tập chương 4: Số phức

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài