Bài 3.23 trang 172 SBT giải tích 12

Giải bài 3.23 trang 172 sách bài tập giải tích 12. Đặt I_n=...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Đặt ${I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}$

LG câu a

a) Chứng minh rằng ${I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}},n > 2$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt $u = {\sin ^{n - 1}}x$ và $dv = \sin xdx$

Giải chi tiết:

Xét với $n > 2$ , ta có: ${I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x.\sin xdx}$

Dùng tích phân từng phần với $u = {\sin ^{n - 1}}x$ và $dv = \sin xdx$ , ta có: $\left\{ \begin{array}{l}du = \left( {n - 1} \right){\sin ^{n - 2}}x\cos xdx\\v = - \cos x\end{array} \right.$

${I_n} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 1}}x\sin xdx}$ $= \left. { - \cos x{{\sin }^{n - 1}}x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}}$ $+ (n - 1)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{{\sin }^{n - 2}}x{{\cos }^2}xdx}$

$= \left( {n - 1} \right)\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {{{\sin }^{n - 2}}x - {{\sin }^n}x} \right)dx}$ $= \left( {n - 1} \right){I_{n - 2}} - \left( {n - 1} \right){I_n}$

Vậy ${I_n} = \dfrac{{n - 1}}{n}{I_{n - 2}}$

LG câu b

b) Tính ${I_3}$ và ${I_5}$ .

Phương pháp giải:

Thay $n = 3,n = 5$ vào tính ${I_3},{I_5}$ .

Giải chi tiết:

Ta có: ${I_1} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xdx}$ $= \left. { - \cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = 1$ .

Suy ra ${I_3} = \dfrac{{3 - 1}}{3}{I_1} = \dfrac{2}{3}.1 = \dfrac{2}{3}$ ; ${I_5} = \dfrac{{5 - 1}}{5}{I_3} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{{15}}$ .

Vậy ${I_3} = \dfrac{2}{3},{I_5} = \dfrac{8}{{15}}$ .

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 3.24 trang 172 SBT giải tích 12
Giải bài 3.24 trang 172 sách bài tập giải tích 12. Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:...
Bài 3.25 trang 173 SBT giải tích 12
Giải bài 3.25 trang 173 sách bài tập giải tích 12. Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:...
Bài 3.26 trang 173 SBT giải tích 12
Giải bài 3.26 trang 173 sách bài tập giải tích 12. Tích phân |x - x^3| bằng...
Bài 3.27 trang 173 SBT giải tích 12
Giải bài 3.27 trang 173 sách bài tập giải tích 12. Tích phân bằng:...
Bài 3.28 trang 173 SBT giải tích 12
Giải bài 3.28 trang 173 sách bài tập giải tích 12. Tích phân bằng...
Bài 3.29 trang 174 SBT giải tích 12
Giải bài 3.29 trang 174 sách bài tập giải tích 12. Đối với tích phân...
Bài 3.30 trang 174 SBT giải tích 12
Giải bài 3.30 trang 174 sách bài tập giải tích 12. Tích phân bằng...
Bài 3.22 trang 172 SBT giải tích 12
Giải bài 3.22 trang 172 sách bài tập giải tích 12. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng:...
Bài 3.21 trang 172 SBT giải tích 12
Giải bài 3.21 trang 172 sách bài tập giải tích 12. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng:...
Bài 3.20 trang 172 SBT giải tích 12
Giải bài 3.20 trang 172 sách bài tập giải tích 12. Chứng minh rằng:...
Bài 3.19 trang 171 SBT giải tích 12
Giải bài 3.19 trang 171 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau đây:...
Bài 3.18 trang 171 SBT giải tích 12
Giải bài 3.18 trang 171 sách bài tập giải tích 12. Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:...
Bài 3.17 trang 170 SBT giải tích 12
Giải bài 3.17 trang 170 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:...
Bài 3.16 trang 170 SBT giải tích 12
Giải bài 3.16 trang 170 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau:...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.