Bài 3.17 trang 170 SBT giải tích 12


Giải bài 3.17 trang 170 sách bài tập giải tích 12. Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

LG câu a

a) \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)  (đặt  \(t = 1 - x\))

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)

Đặt \(t = 1 - x\)\( \Rightarrow dt =  - dx\)

Đổi cận: \(x = 1 \Rightarrow t = 0\), \(x = 2 \Rightarrow t =  - 1\)

Khi đó \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)\( = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {1 - t} \right).{t^5}\left( { - dt} \right)} \) \( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{t^5} - {t^6}} \right)dt} \) \( = \left. {\left( {\dfrac{{{t^6}}}{6} - \dfrac{{{t^7}}}{7}} \right)} \right|_{ - 1}^0\) \( = 0 - \dfrac{1}{6} + \dfrac{{ - 1}}{7} =  - \dfrac{{13}}{{42}}\)

LG câu b

b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)    (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \)\( \Rightarrow {t^2} = {e^x} - 1 \Rightarrow 2tdt = {e^x}dx\) \( \Rightarrow dx = \dfrac{{2tdt}}{{{e^x}}} = \dfrac{{2tdt}}{{{t^2} + 1}}\)

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 0\), \(x = \ln 2 \Rightarrow t = 1\).

Khi đó \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)\( = \int\limits_0^1 {t.\dfrac{{2t}}{{{t^2} + 1}}dt} \) \( = \int\limits_0^1 {\left( {2 - \dfrac{2}{{{t^2} + 1}}} \right)dt} \) \( = 2 - 2\int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \)

Xét \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \). Đặt \(t = \tan u \Rightarrow dt = \left( {1 + {{\tan }^2}u} \right)du\).

Đổi cận \(t = 0 \Rightarrow u = 0\), \(t = 1 \Rightarrow u = \dfrac{\pi }{4}\).

Khi đó \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} + 1}}} \)\( = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{1 + {{\tan }^2}u}}{{{{\tan }^2}u + 1}}du}  = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {du}  = \dfrac{\pi }{4}\)

Suy ra \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)\( = 2 - 2.\dfrac{\pi }{4} = 2 - \dfrac{\pi }{2}\).

LG câu c

c) \(\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \)  (đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\))

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \)

Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}}\) \( \Rightarrow {t^3} = 1 - x \Rightarrow 3{t^2}dt =  - dx\)

Đổi cận \(x = 1 \Rightarrow t = 0\), \(x = 9 \Rightarrow t =  - 2\)

Khi đó \(\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} \)\( = \int\limits_0^{ - 2} {\left( {1 - {t^3}} \right).t\left( { - 3{t^2}dt} \right)} \) \( = 3\int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{t^3} - {t^6}} \right)dt} \) \( = 3\left. {\left( {\dfrac{{{t^4}}}{4} - \dfrac{{{t^7}}}{7}} \right)} \right|_{ - 2}^0\) \( =  - 3\left( {\dfrac{{16}}{4} + \dfrac{{{2^7}}}{7}} \right) =  - \dfrac{{468}}{7}\).

LG câu d

d) \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)    (đặt  \(x = \pi  - t\))

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

Đặt \(x = \pi  - t\), ta suy ra:

\(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)\( = \int\limits_\pi ^0 {\dfrac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin \left( {\pi  - t} \right)}}{{1 + {{\cos }^2}\left( {\pi  - t} \right)}}\left( { - dt} \right)} \)\( = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\left( {\pi  - t} \right)\sin t}}{{1 + {{\cos }^2}t}}dt} \) \( = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\left( {\pi  - x} \right)\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

\( = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  - \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

\( \Rightarrow 2\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\pi \sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \dfrac{\pi }{2}\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)

Xét \(I = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \), đặt \(u = \cos x \Rightarrow du =  - \sin xdx\).

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow u = 1,\) \(x = \pi  \Rightarrow u =  - 1\). Khi đó

\(I = \int\limits_0^\pi  {\dfrac{{\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)\( = \int\limits_1^{ - 1} {\dfrac{{ - du}}{{1 + {u^2}}}}  = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}} \)

Đặt \(u = \tan t\) \( \Rightarrow du = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\). Đổi cận \(u =  - 1 \Rightarrow t =  - \dfrac{\pi }{4},\) \(u = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}\).

Khi đó \(I = \int\limits_{ - 1}^1 {\dfrac{{du}}{{1 + {u^2}}}}  = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{4}}^{\dfrac{\pi }{4}} {dt}  = \dfrac{\pi }{2}\)

Vậy \(\int\limits_0^\pi  {\dfrac{{x\sin x}}{{1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = \dfrac{\pi }{2}.I = \dfrac{{{\pi ^2}}}{4}\).

LG câu e

e) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đổi biến tính tích phân, cách đổi biến đã được gợi ý ngay ở đề bài.

Giải chi tiết:

\(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \)

Đặt \(t = 1 - {x^3} \Rightarrow dt =  - 3{x^2}dx\) \( \Rightarrow {x^2}dx =  - \dfrac{{dt}}{3}\).

Đổi cận \(x =  - 1 \Rightarrow t = 2\), \(x = 1 \Rightarrow t = 0\). Khi đó

\(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \)\( = \int\limits_2^0 {{t^4}.\left( { - \dfrac{{dt}}{3}} \right)}  = \dfrac{1}{3}\int\limits_0^2 {{t^4}dt} \) \( = \dfrac{1}{3}\left. {\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2 = \dfrac{{32}}{{15}}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Tích phân

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài