Bài 3.18 trang 171 SBT giải tích 12


Giải bài 3.18 trang 171 sách bài tập giải tích 12. Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

LG câu a

a) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {\dfrac{{x\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \) \( = \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} =  - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} =  - \dfrac{1}{2}\)

LG câu b

b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - 2x}}dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. { - \dfrac{{x{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - 2x}}dx} \) \( =  - \dfrac{{\ln 2.{e^{ - 2\ln 2}}}}{2} - \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}\) \( =  - \dfrac{{\ln 2}}{8} + \dfrac{3}{{16}}\)

LG câu c

c) \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {x\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{2x}}{{2x + 1}}dx} \) \( = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{1}{{2x + 1}}} \right)dx} \) \( = \ln 3 - \left. {\left( {x - \dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{2}} \right)} \right|_0^1\) \( = \ln 3 - \left( {1 - \dfrac{{\ln 3}}{2}} \right) = \dfrac{3}{2}\ln 3 - 1\)

LG câu d

d) \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]dx} \) \( = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx}  - \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \) \( = J - K\) với \(J = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx} \) và \(K = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \).

+) Tính \(J = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x - 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x - 1}}\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow J = \left. {x\ln \left( {x - 1} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x - 1}}dx} \) \( = 3\ln 2 - \int\limits_2^3 {\left( {1 + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)dx} \) \( = 3\ln 2 - \left. {\left( {x + \ln \left( {x - 1} \right)} \right)} \right|_2^3\) \( = 3\ln 2 - 3 - \ln 2 + 2\) \( = 2\ln 2 - 1\).

+) Tính \(K = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow K = \left. {x\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x + 1}}dx} \) \( = 3\ln 4 - 2\ln 3 - \int\limits_2^3 {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \) \( = 6\ln 2 - 2\ln 3 - \left. {\left( {x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_2^3\) \( = 6\ln 2 - 2\ln 3 - 3 + \ln 4 + 2 - \ln 3\) \( = 8\ln 2 - 3\ln 3 - 1\).

\( \Rightarrow I = J - K\) \( = 2\ln 2 - 1 - \left( {8\ln 2 - 3\ln 3 - 1} \right)\) \( = 3\ln 3 - 6\ln 2\)

LG câu e

e) \(\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \)\( = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \) \( = J + K\) với \(J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx\) và \(K = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \)

+) Tính \(J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{x + \dfrac{1}{x}}}\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow J = \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \) \( = \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - K\) \( = 2{e^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K\)

Suy ra \(I = J + K\) \( = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K + K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}}\).

LG câu g

g) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

Đặt  \(u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\) \( \Rightarrow du = dx\). Ta tìm \(v = \int {\cos x{{\sin }^2}xdx} \).

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx\)

\( \Rightarrow \int {\cos x{{\sin }^2}xdx}  = \int {{t^2}dt} \) \( = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + C\)

Chọn \(v = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}\) ta có:

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)\( = \left. {\dfrac{{x{{\sin }^3}x}}{3}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}dx} \) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} \) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\)

Đặt \(\cos x = t \Rightarrow dt =  - \sin xdx\)

\( \Rightarrow J = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right).\left( { - dt} \right)} \) \( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - {t^2}} \right)dt} \) \( = \left. {\left( {t - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{2}{3}\)

Vậy \(I = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{2}{9}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Tích phân

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài