Bài 3.18 trang 171 SBT giải tích 12


Giải bài 3.18 trang 171 sách bài tập giải tích 12. Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

LG câu a

a) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos 2xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \cos 2xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \dfrac{{\sin 2x}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {\dfrac{{x\sin 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} \) \( = \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} =  - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} =  - \dfrac{1}{2}\)

LG câu b

b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^{ - 2x}}dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v =  - \dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. { - \dfrac{{x{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\ln 2} {{e^{ - 2x}}dx} \) \( =  - \dfrac{{\ln 2.{e^{ - 2\ln 2}}}}{2} - \dfrac{1}{2}.\left. {\dfrac{{{e^{ - 2x}}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}\) \( =  - \dfrac{{\ln 2}}{8} + \dfrac{3}{{16}}\)

LG câu c

c) \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {2x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{2}{{2x + 1}}dx\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \left. {x\ln \left( {2x + 1} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\dfrac{{2x}}{{2x + 1}}dx} \) \( = \ln 3 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \dfrac{1}{{2x + 1}}} \right)dx} \) \( = \ln 3 - \left. {\left( {x - \dfrac{{\ln \left( {2x + 1} \right)}}{2}} \right)} \right|_0^1\) \( = \ln 3 - \left( {1 - \dfrac{{\ln 3}}{2}} \right) = \dfrac{3}{2}\ln 3 - 1\)

LG câu d

d) \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_2^3 {\left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - \ln \left( {x + 1} \right)} \right]dx} \) \( = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx}  - \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \) \( = J - K\) với \(J = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx} \) và \(K = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \).

+) Tính \(J = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x - 1} \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x - 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x - 1}}\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow J = \left. {x\ln \left( {x - 1} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x - 1}}dx} \) \( = 3\ln 2 - \int\limits_2^3 {\left( {1 + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right)dx} \) \( = 3\ln 2 - \left. {\left( {x + \ln \left( {x - 1} \right)} \right)} \right|_2^3\) \( = 3\ln 2 - 3 - \ln 2 + 2\) \( = 2\ln 2 - 1\).

+) Tính \(K = \int\limits_2^3 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {x + 1} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{{dx}}{{x + 1}}\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow K = \left. {x\ln \left( {x + 1} \right)} \right|_2^3 - \int\limits_2^3 {\dfrac{x}{{x + 1}}dx} \) \( = 3\ln 4 - 2\ln 3 - \int\limits_2^3 {\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \) \( = 6\ln 2 - 2\ln 3 - \left. {\left( {x - \ln \left( {x + 1} \right)} \right)} \right|_2^3\) \( = 6\ln 2 - 2\ln 3 - 3 + \ln 4 + 2 - \ln 3\) \( = 8\ln 2 - 3\ln 3 - 1\).

\( \Rightarrow I = J - K\) \( = 2\ln 2 - 1 - \left( {8\ln 2 - 3\ln 3 - 1} \right)\) \( = 3\ln 3 - 6\ln 2\)

LG câu e

e) \(\int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {1 + x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \)\( = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx + \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \) \( = J + K\) với \(J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx\) và \(K = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \)

+) Tính \(J = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^{x + \dfrac{1}{x}}}\\dv = dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {1 - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx\\v = x\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow J = \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^2 {\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right){e^{x + \dfrac{1}{x}}}dx} \) \( = \left. {x{e^{x + \dfrac{1}{x}}}} \right|_{\dfrac{1}{2}}^2 - K\) \( = 2{e^{\dfrac{5}{2}}} - \dfrac{1}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K\)

Suy ra \(I = J + K\) \( = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}} - K + K = \dfrac{3}{2}{e^{\dfrac{5}{2}}}\).

LG câu g

g) \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tích phân từng phần:

\(\int\limits_a^b {u\left( x \right)d\left( {v\left( x \right)} \right)} \) \( = \left. {\left[ {u\left( x \right)v\left( x \right)} \right]} \right|_a^b - \int\limits_a^b {v\left( x \right)d\left( {u\left( x \right)} \right)} \)

Lời giải chi tiết:

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

Đặt  \(u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\) \( \Rightarrow du = dx\). Ta tìm \(v = \int {\cos x{{\sin }^2}xdx} \).

Đặt \(\sin x = t \Rightarrow dt = \cos xdx\)

\( \Rightarrow \int {\cos x{{\sin }^2}xdx}  = \int {{t^2}dt} \) \( = \dfrac{{{t^3}}}{3} + C = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3} + C\)

Chọn \(v = \dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}\) ta có:

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)\( = \left. {\dfrac{{x{{\sin }^3}x}}{3}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{{{\sin }^3}x}}{3}dx} \) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)\sin xdx} \) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\)

Đặt \(\cos x = t \Rightarrow dt =  - \sin xdx\)

\( \Rightarrow J = \int\limits_1^0 {\left( {1 - {t^2}} \right).\left( { - dt} \right)} \) \( = \int\limits_0^1 {\left( {1 - {t^2}} \right)dt} \) \( = \left. {\left( {t - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{2}{3}\)

Vậy \(I = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}J\) \( = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{1}{3}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{\pi }{6} - \dfrac{2}{9}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4 trên 5 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Tích phân

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài