Bài 3.21 trang 172 SBT giải tích 12


Giải bài 3.21 trang 172 sách bài tập giải tích 12. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a;a]. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\). Chứng minh rằng:

\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ \begin{array}{l}2\int\limits_0^a {f(x)dx} \,\,\left( 1 \right)\\0,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

(1): nếu \(f\) là hàm số chẵn.

(2): nếu \(f\) là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)dx} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đổi biến tính tích phân rồi suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên đoạn \(\left[ { - a;a} \right]\), ta có: \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx}  = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  + \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

Đổi biến \(x =  - t\) đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \), ta được:

\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx}  =  - \int\limits_a^0 {f( - t)dt} \)\( = \int\limits_0^a {f(t)dt}  = \int\limits_0^a {f(x)dx} \)

Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)

Trường hợp sau chứng minh tương tự.

Áp dụng:

Ta có: \(g( - x) = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {{\left( { - x} \right)}^2}} } \right)\)\( = \ln \left( { - x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) \( = \ln \left( {\dfrac{1}{{x + \sqrt {1 + {x^2}} }}} \right)\) \( =  - \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right) =  - g\left( x \right)\)

Nên \(g(x) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\) là hàm số lẻ trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\) nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Tích phân

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài