Bài 3.20 trang 172 SBT giải tích 12


Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right)\) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} ,x \in \mathbb{R}\) là hàm số chẵn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Đặt \(t =  - s\) suy ra tích phân mới theo biến \(s\), chứng minh \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\).

Chú ý công thức: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt} \).

Lời giải chi tiết

Đặt \(t =  - {\rm{ }}s\) ta có \(dt =  - ds\), đổi cận \(t = 0 \Rightarrow s = 0\), \(t = x \Rightarrow s =  - x\).

Suy ra \(f(x) = \int\limits_0^x {\dfrac{t}{{\sqrt {1 + {t^4}} }}dt} \) \( = \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{{ - s}}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}\left( { - ds} \right)} \)\( = \int\limits_0^{ - x} {\dfrac{s}{{\sqrt {1 + {{\left( { - s} \right)}^4}} }}ds}  = f\left( { - x} \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = f\left( { - x} \right),\forall x \in \mathbb{R}\), suy ra hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Tích phân

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài