Bài 1.24 trang 16 SBT giải tích 12


Đề bài

Chứng minh rằng hàm số: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x,\forall x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2},\forall x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xét sự tồn tại của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm \(x = 0\).

- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.

Lời giải chi tiết

Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x;x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2};x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) vì:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x}}{x} =  - 2\),

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2.\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{2}\)

Vì \( - 2 \ne \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\)

Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\) nên không có đạo hàm của hàm số tại \(x=0\).

Mặt khác, với \(x < 0\;\) thì \(y' = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}\), với \(x > 0\) thì \(y' =  - 2 < 0\)

Xét trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) ta có bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Cực trị của hàm số

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.