-
GIẢI TÍCH SBT - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 12
Bài 1.24 trang 16 SBT giải tích 12
Giải bài 1.24 trang 16 sách bài tập giải tích 12. Chứng minh rằng hàm số sau không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Đề bài
Chứng minh rằng hàm số: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x,\forall x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2},\forall x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng đạt cực đại tại điểm đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét sự tồn tại của giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) và suy ra sự tồn tại của đạo hàm tại điểm \(x = 0\).
- Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) nếu đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua điểm đó.
Lời giải chi tiết
Hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x;x \ge 0}\\{\sin \dfrac{x}{2};x < 0}\end{array}} \right.\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) vì:
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \dfrac{{ - 2x}}{x} = - 2\),
+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{f(x) - f(0)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{x} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \dfrac{{\sin \dfrac{x}{2}}}{{2.\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{1}{2}\)
Vì \( - 2 \ne \frac{1}{2} \) \(\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\)
Do đó không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{x}\) nên không có đạo hàm của hàm số tại \(x=0\).
Mặt khác, với \(x < 0\;\) thì \(y' = \dfrac{1}{2}\cos \dfrac{x}{2}\), với \(x > 0\) thì \(y' = - 2 < 0\)
Xét trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) ta có bảng biến thiên:
Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CD}} = y\left( 0 \right) = 0\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 1.25 trang 16 SBT giải tích 12
- Bài 1.26 trang 16 SBT giải tích 12
- Bài 1.27 trang 17 SBT giải tích 12
- Bài 1.28 trang 17 SBT giải tích 12
- Bài 1.29 trang 17 SBT giải tích 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
