Bài 1.20 trang 16 SBT giải tích 12


Giải bài 1.20 trang 16 sách bài tập giải tích 12. Tìm cực trị của các hàm số sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm cực trị của các hàm số sau:

LG a

\(y = \sin 2x\)

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

- Tính \(y''\) và xét dấu của \(y''\) tại các điểm tìm được ở trên.

- Kết luận:

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

\(y = \sin 2x\)               

Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)

Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:

\(y' = 2\cos 2x\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\)

Mà \( x\in [0;\pi] \Rightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr 
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Lại có: \(y'' =  - 4\sin 2x\);

\(y''\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\dfrac{\pi }{4}} \right) =  - 4 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = \dfrac{\pi }{4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi  \over 4}) = 1\)

\(y''\left( {\dfrac{3\pi }{4}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\dfrac{3\pi }{4}} \right) =  4 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \dfrac{3\pi }{4}\) và \({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) =  - 1\)

Vậy trên R ta có:

\({y_{CĐ}} = y({\pi  \over 4} + k\pi ) = 1;\)

\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) =  - 1,k \in Z\)

Cách khác:

y = sin2x

Hàm số có chu kỳ T = π

Xét hàm số y=sin2x trên đoạn [0;π], ta có:

y' = 2cos2x

y' = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4}\\x = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn [0;π] , hàm số đạt cực đại tại π/4 , đạt cực tiểu tại 3π/4 và yCD = y(π/4) = 1; yCT = y(3π/4) = −1

Vậy trên R ta có:

y = y(π/4 + kπ) = 1;

yCT = y(3π/4 + kπ) = −1, k∈Z.

LG b

\(y = \cos x - \sin x\)

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)

- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).

- Tính \(y''\) và xét dấu của \(y''\) tại các điểm tìm được ở trên.

- Kết luận:

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu âm thì là điểm cực đại.

+ Tại điểm mà \(y''\) mang dấu dương thì là điểm cực tiểu.

Lời giải chi tiết:

Hàm số tuần hoàn chu kỳ \(\pi\) nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).

Ta có: \(y' =  - \sin x - \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow \sin x =  - \cos x\) \( \Leftrightarrow \tan x =  - 1 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \).

Do \(x \in \left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x =  - \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\).

Lại có \(y'' =  - \cos x + \sin x\);

+) \(y''\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) + \sin \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) =  - \sqrt 2  < 0\) nên \(x =  - \dfrac{\pi }{4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \sqrt 2 \).

+) \(y''\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \cos \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) + \sin \left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 2  > 0\) nên \(x = \dfrac{{3\pi }}{4}\) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) =  - \sqrt 2 \).

Vậy trên \(\mathbb{R}\) thì \({x_{CD}} =  - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = y\left( { - \dfrac{\pi }{4} + k\pi } \right) = \sqrt 2 \); \({x_{CT}} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \) là điểm cực tiểu của hàm số và \({y_{CT}} = y\left( {\dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi } \right) =  - \sqrt 2 \)

Cách khác:

Hàm số tuần hoàn chu kỳ nên ta xét trên đoạn [−π;π].

y′ = − sinx – cosx

y′ = 0 ⇔ tanx = −1 ⇔ x = −π4 + kπ, k∈Z

Lập bảng biến thiên trên đoạn [−π;π]

Hàm số đạt cực đại tại x = −π4 + k2π , đạt cực tiểu tại x = 3π4 + k2π (k∈Z) và

y = y(−π4 + k2π) = √2;

yCT = y(3π4 + k2π) = −√2 (k∈Z).

LG c

\(y = {\sin ^2}x\)

Phương pháp giải:

Do tính tuần hoàn của hàm số nên ta chỉ xét trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

- Tính \(y'\), tìm nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\).

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = {\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x\)

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \).

Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\).

y′ = sin2x

\(y' = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{2}\)

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right]\) nên \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \pi \end{array} \right.\).

Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi  \over 2}\) với \(k\) chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi  \over 2}\) với \(k \) lẻ, và \({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0\); \({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi  \over 2}) = 1(m \in Z)\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Cực trị của hàm số

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài