Câu 4.11 trang 135 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Cho dãy số xác định bởi

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 10 \hfill \cr 
{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng:

 

LG a

\({u_n} > 1\) với mọi n

 

Lời giải chi tiết:

 Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

 

LG b

 \({u_{n + 1}} - 1 < {{{u_n} - 1} \over 2}\) với mọi n

 

Lời giải chi tiết:

\({u_{n + 1}} - 1 < \sqrt {{u_n}}  - 1 = {{{u_n} - 1} \over {\sqrt {{u_n}}  + 1}} \le {{{u_n} - 1} \over 2}\) với mọi n vì \(\sqrt {{u_n}}  > 1\)

 

LG c

Tìm \(\lim {u_n}\)

 

Lời giải chi tiết:

Đặt \({v_n} = {u_n} - 1,\) ta có

                         \(0 < {v_{n + 1}} \le {1 \over 2}{v_n}\) với mọi n

Do đó              \({v_2} \le {1 \over 2}{v_1}\);   \({v_3} \le {1 \over 2}{v_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{v_1}\)

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

                        \(0 < {v_n} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{v_1} = 9{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}\)

Vì \(\lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} = 0\) nên từ đó suy ra \(\lim {v_n} = 0\)

Vậy \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 1\)

Loigiaihay.com

 

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài