Câu 3 trang 211 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Chứng minh rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D)

Đề bài

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = ln x và (D) là một tiếp tuyến bất kỳ của (C).

Chứng mình rằng trên khoảng (0, +∞); (C) nằm ở phía dưới đường thẳng (D).

Lời giải chi tiết

Giả sử M(x0, lnx0) ∈ (C) (x0 > 0 )

Ta có: \(y' = {1 \over x}\)

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là:

\(y = {1 \over {{x_0}}}(x - {x_o}) + \ln {x_0}\)

Vậy với mọi x ∈ (0,+∞), ta cần chứng minh:          

\(\eqalign{
& {1 \over {{x_0}}}(x - {x_0}) + \ln {x_0} \ge \ln x \cr 
& \Leftrightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0 \cr} \) 

Đặt \(t = {x \over {{x_0}}} > 0\)

Xét hàm số \(g(t) = t – \ln t\) với t > 0

\(\eqalign{
& g' = 1 - {1 \over t} = {{t - 1} \over t} \cr 
& g' = 0 \Leftrightarrow y = t = 1 \cr} \) 

Bảng biến thiên

 

Từ bảng biến thiên ta có \(g(t) ≥ 1\) với mọi \(t \in (0, +∞)\)

\( \Rightarrow t - \ln t - 1 \ge 0 \Rightarrow {x \over {{x_0}}} - 1 - \ln {x \over {{x_0}}} \ge 0\) với mọi \(x > 0\)

Vậy trên \((0; +∞)\) (C) nằm phía dưới đường thẳng (D)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu

Các bài liên quan: - Câu hỏi và bài tập

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài