Câu 19 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Xác định phần thực của số phức sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Xác định phần thực của số phức \({{z + 1} \over {z - 1}}\) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1

Phương pháp giải:

Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\). Sử dụng tính chất: \(w + \overline w  = 2a\) để suy ra phần thực của w.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(|z| = 1 \Rightarrow z.\overline z  = 1 \Rightarrow \overline z  = {1 \over z}\)

Với \(z ≠ 1\)

Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\) ta có:

\(\eqalign{
& w+\overline w={{z + 1} \over {z - 1}} + \overline {({{z + 1} \over {z - 1}})}\cr & = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr 
& = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{{1 \over z} + 1} \over {{1 \over z} - 1}} \cr &= {{z + 1} \over {z - 1}} + {{1 + z} \over {1 - z}} = 0 \cr} \)

Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0.

Cách khác:

Giả sử z=a+bi với a2+b2=1 và a+bi ≠ 1.

Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0.

LG b

Chứng minh rằng nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì |z| = 1.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất: Nếu w là số ảo thì \(w + \overline w  = 0\) hay \(w =- \overline w  \)

Lời giải chi tiết:

Xét \(w={{z + 1} \over {z - 1}}\).

Nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì

\(w =  - \overline w  \Leftrightarrow \frac{{z + 1}}{{z - 1}} =  - \overline {\left( {\frac{{z + 1}}{{z - 1}}} \right)} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow  {{z + 1} \over {z - 1}} = - {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr 
& \Rightarrow (z + 1)(\overline z - 1) = (\overline z + 1)(1 - z) \cr 
& \Leftrightarrow z.\overline z  + \overline z  - z - 1 = \overline z  + 1 - z.\overline z  - z\cr & \Leftrightarrow 2z\overline z  = 2\cr &\Leftrightarrow  z.\overline z = 1 \cr} \)

\( \Rightarrow \left| z \right|.\left| {\overline z } \right| = 1 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2} = 1 \Leftrightarrow \left| z \right| = 1\)

Vậy |z| = 1.

Cách khác:

Theo câu a, ta có: \(\frac{{z - 1}}{{z + 1}} = \frac{{{a^2} + {b^2} - 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}} - \frac{{2b}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}}}i\)

Nên (z+1)/(z-1) là số ảo thì a2+b2-1=0 <=> a2+b2=1 <=> |z| = 1 (đpcm)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 4 phiếu

Các bài liên quan: - Câu hỏi và bài tập

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài