Câu 23 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Bình chọn:
4 trên 7 phiếu

Tính:

Tính:

\({({{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }})^6};\,\,{{{{(\sqrt 3  + i)}^5}} \over {{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}}\)

Giải

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }} = {{4i(1 - i\sqrt 3 )} \over 4} = \sqrt 3 + i \cr
& = 2({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}i) = 2(cos{\pi \over 6} + {\rm{i}}\sin {\pi \over 6}) \cr} \) 

Suy ra: \({({{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }})^6} = {2^6}(cos\pi  + \,i\sin \pi ) =  - {2^6}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {(\sqrt 3 + i)^5} = {2^5}(cos{{5\pi } \over 6} + {\rm{i}}\sin {{5\pi } \over 6})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr
& 1 - i\sqrt 3 = 2({1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i) \cr
& = 2(cos( - {\pi \over 3}) + {\rm{i}}\sin ( - {\pi \over 3})) \cr
& \Rightarrow {(1 - i\sqrt 3 )^{11}} = {2^{11}}{\rm{[cos(}}{{ - 11\pi } \over 3}) + {\rm{isin(}}{{ - 11\pi } \over 3}){\rm{]}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \) 

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\eqalign{
& {{{{(\sqrt 3 + i)}^5}} \over {{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}} = {1 \over {{2^6}}}{\rm{[cos(}}{{5\pi } \over 6} + {{11\pi } \over 3}) + {\rm{i}}\sin {\rm{(}}{{5\pi } \over 6} + {{11\pi } \over 3}){\rm{]}} \cr
& = {1 \over {{2^6}}}(cos{{9\pi } \over 2} + {\rm{i}}\sin {{9\pi } \over 2}) = {i \over {64}} \cr} \)

Loigiaihay.com

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu



Các bài liên quan