Câu 23 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Tính:

Đề bài

Tính:

\({({{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }})^6};\,\,{{{{(\sqrt 3  + i)}^5}} \over {{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\eqalign{
& {{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }} = {{4i(1 - i\sqrt 3 )} \over 4} = \sqrt 3 + i \cr 
& = 2({{\sqrt 3 } \over 2} + {1 \over 2}i) = 2(cos{\pi \over 6} + {\rm{i}}\sin {\pi \over 6}) \cr} \) 

Suy ra: \({({{4i} \over {1 + i\sqrt 3 }})^6} = {2^6}(cos\pi  + \,i\sin \pi ) =  - {2^6}\)

b) Ta có:

\(\eqalign{
& {(\sqrt 3 + i)^5} = {2^5}(cos{{5\pi } \over 6} + {\rm{i}}\sin {{5\pi } \over 6})\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr 
& 1 - i\sqrt 3 = 2({1 \over 2} - {{\sqrt 3 } \over 2}i) \cr 
& = 2(cos( - {\pi \over 3}) + {\rm{i}}\sin ( - {\pi \over 3})) \cr 
& \Rightarrow {(1 - i\sqrt 3 )^{11}} = {2^{11}}{\rm{[cos(}}{{ - 11\pi } \over 3}) + {\rm{isin(}}{{ - 11\pi } \over 3}){\rm{]}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \) 

Từ (1) và (2) suy ra:

\(\eqalign{
& {{{{(\sqrt 3 + i)}^5}} \over {{{(1 - i\sqrt 3 )}^{11}}}} = {1 \over {{2^6}}}{\rm{[cos(}}{{5\pi } \over 6} + {{11\pi } \over 3}) + {\rm{i}}\sin {\rm{(}}{{5\pi } \over 6} + {{11\pi } \over 3}){\rm{]}} \cr 
& = {1 \over {{2^6}}}(cos{{9\pi } \over 2} + {\rm{i}}\sin {{9\pi } \over 2}) = {i \over {64}} \cr} \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Câu hỏi và bài tập

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài