Câu 10 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Giải các phương trình và hệ phương trình sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các phương trình sau:

LG a

\({81^{{{\sin }^2}x}} + {81^{{{\cos }^2}x}} = 30\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {81^{{{\cos }^2}x}}(1 \le t \le 81)\)

Khi đó: \({81^{{{\sin }^2}x}} = {81^{1- {{\cos }^2}x}} = {{81} \over t}\)

Phương trình trở thành:

\(\eqalign{
& {{81} \over t} + t = 30 \Leftrightarrow {t^2} - 30t + 81 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 27 \hfill \cr 
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{81^{{{\cos }^2}x}} = 27\\{81^{{{\cos }^2}x}} = 3\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{{3^{4{{\cos }^2}x}} = {3^3} \hfill \cr {3^{4{{\cos }^2}x}} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{4{\cos ^2}x = 3 \hfill \cr 4{\cos ^2}x = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{2(1 + \cos 2x) = 3 \hfill \cr 2(1 + \cos 2x) = 1 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = {1 \over 2} \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \pm {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right. \cr} \) 

LG b

\({\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2\)

Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai ẩn \({\log _{\frac{1}{2}}}x\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}(\log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5) = 2 \cr&\Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}}x + 5 = 9 \cr 
& \Leftrightarrow \log _{{1 \over 2}}^2x - 3{\log _{{1 \over 2}}} - 4 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}x = - 1 \hfill \cr 
{\log _{{1 \over 2}}}x = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = {1 \over {16}} \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {16}};\,2\} \)

LG c

\({4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0

\(\eqalign{
& {4^{{{\log }x} + 1}} - {6^{{{\log }x}}} - {2.3^{\log {x^2} + 2}} = 0 \cr 
&  \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {2.3^{\log {x^2}}}{.3^2} = 0\cr & \Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.3^{2\log x}} = 0\cr &\Leftrightarrow {4.4^{\log x}} - {6^{\log x}} - {18.9^{\log x}} = 0 \cr} \) 

Chia hai vế phương trình 4logx ta được:

\(4 - {({3 \over 2})^{\log x}} - 18.{({9 \over 4})^{\log x}} = 0\)

Đặt \(t = {({3 \over 2})^{\log x}}\,\,(t > 0)\) ta có phương trình:

\(18{t^2} + t - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {4 \over 9} \hfill \cr 
t = - {1 \over 2}\,\,(loai) \hfill \cr} \right.\)

\(\eqalign{
& t = {4 \over 9} \Leftrightarrow {({3 \over 2})^{\log x}} = {({3 \over 2})^{-2}} \cr &\Leftrightarrow \log x = - 2 \cr 
& \Leftrightarrow x = {10^{ - 2}} = {1 \over {100}} \cr} \)

LG d

\(\left\{ \matrix{
{2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \hfill \cr 
{\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0; y > 0

\(\eqalign{
& {2^x}{8^{ - y}} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow {2^{x - 3y}} = {2^{{3 \over 2}}} \cr &\Leftrightarrow x - 3y = {3 \over 2}\,\,\,\,\,(1) \cr 
& {\log _9}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr&\Leftrightarrow {1 \over 2}{\log _3}{1 \over x} + {1 \over 2} = {1 \over 2}{\log _3}(9y) \cr 
& \Leftrightarrow {\log _3}\frac{1}{x} + 1 = {\log _3}9y\cr &\Leftrightarrow {\log _3}{3 \over x} = {\log _3}(9y) \Leftrightarrow {3 \over x} = 9y \cr &\Leftrightarrow xy = {1 \over 3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \cr} \)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = {3 \over 2} \hfill \cr 
xy = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr 
({3 \over 2} + 3y)y = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} + 3y \hfill \cr 
3{y^2} + {3 \over 2}y - {1 \over 3} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
y = {1 \over 6},y=-{2 \over 3}(loai) \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(S = {\rm{\{ }}(2,\,{1 \over 6}){\rm{\} }}\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

Các bài liên quan: - Câu hỏi và bài tập

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài