Câu 14 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao


Tính các tính phân sau

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tính phân sau

LG a

\(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}} \)

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến \(x=\tan t\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(x = \tan t \Rightarrow dx = {1 \over {{{\cos }^2}t}}dt\) \( = \left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt\)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 0\\
x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{4}
\end{array}\)

\(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + 1}}}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {{{(1+\tan ^2 t)dt} \over {{{\tan }^2}t + 1}}}  = \int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {dt}  = {\pi  \over 4}\)

LG b

\(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}} \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(I = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{x^2} + x + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{{dx} \over {{{(x + {1 \over 2})}^2} + {{({{\sqrt 3 } \over 2})}^2}}}} \)

Đặt \(x + {1 \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 2}\tan t \) \(\Rightarrow dx = {{\sqrt 3 } \over 2}(1 + {\tan ^2}t)dt\)

Đổi cận:

\(\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\\
x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{3}
\end{array}\)

\(I  = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}}{{\frac{3}{4}{{\tan }^2}t + \frac{3}{4}}}} \) \( = \int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + {{\tan }^2}t} \right)dt}}{{\frac{3}{4}\left( {{{\tan }^2}t + 1} \right)}}}\) \(  = \int\limits_{{\pi  \over 6}}^{{\pi  \over 3}} {{{{{\sqrt 3 } \over 2}dt} \over {{3 \over 4}}}}  = {4 \over 3}.{{\sqrt 3 } \over 2}.{\pi  \over 6} = {{\sqrt 3 \pi } \over 9}\) 

LG c

\(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx} \)

Phương pháp giải:

Tính tích phân bằng phương pháp từng phần.

Lời giải chi tiết:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  \) \(= {x^2}{e^x}|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = e - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx\,\,\,\,\,\,\,(*)} } \)

Đặt

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr 
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr 
v = {e^x} \hfill \cr} \right.\)

Suy ra:

\(\int\limits_0^1 {x{e^x}dx = x{e^x}|_0^1}  - \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  \) \(= e - {e^x}|_0^1=e-(e-1)= 1\) 

Từ (*) suy ra:  \(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^x}dx}  = e - 2\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

Các bài liên quan: - Câu hỏi và bài tập

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài