Câu 11 trang 214 SGK Đại số và Giải tích 11 nâng cao


Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức sau

Đề bài

Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh bất đẳng thức sau với mọi số nguyên \(n \ge 2\) và mọi số thực x thỏa mãn \(\left| x \right| < 1\)

\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left( {1 + x} \right)^n} < {2^n}\)

Lời giải chi tiết

Khi \(n = 2,\) bất đẳng thức đúng vì

\({\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {1 + x} \right)^2} = 2\left( {1 - {x^2}} \right) < 2\,\,\,\left( {do\,\,{x^2} < 1} \right)\)

Giả sử \(n \ge 2,\)ta có:

\({\left( {1 - x} \right)^n} + {\left( {1 + x} \right)^n} < {2^n}\,,\left( {\,\left| x \right| < 1} \right)\)               (1)

Ta cần chứng minh

\({\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} < {2^{n + 1}},\left( {\left| x \right| < 1} \right)\)                 (2)

Thật vậy, do \(\left| x \right| < 1\) nên \(0 < 1 - x < 2\) và \(0 < 1 + x < 2;\) Từ đó ta có

\(\eqalign{ & {\left( {1 - x} \right)^{n + 1}} + {\left( {1 + x} \right)^{n + 1}} = {\left( {1 - x} \right)^n}\left( {1 - x} \right) + {\left( {1 + x} \right)^n}\left( {1 + x} \right)  \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, < 2\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^n} + \left( {1 + x} \right)} \right] < {2.2^n} = {2^{n + 1}} \cr} \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>>Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu


Gửi bài