Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.8 trên 16 phiếu

Giải bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân.

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\);        b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

c) \(\int_{1}^{2}\dfrac{\ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) \(\int\limits_{}^{} {{{\left( {ax + b} \right)}^n}}  = \dfrac{1}{a}\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

b) +) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.

     +) Chia tử số cho mẫu số.

c) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} = \left. {\dfrac{1}{3}.\dfrac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}}} \right|_0^1\\= \left. {\dfrac{2}{{15}}.{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{5}{2}}}} \right|_0^1 = \dfrac{2}{{15}}\left( {{4^{\frac{5}{2}}} - 1} \right) = \dfrac{2}{{15}}.31 = \dfrac{{62}}{{15}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \dfrac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \dfrac{1}{8} + \ln \dfrac{3}{2}\end{array}\)

c) Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \dfrac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{{1 + x}}dx\\v = - \dfrac{1}{x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^2 {\dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}}dx} = \left. { - \dfrac{1}{x}\ln \left( {1 + x} \right)} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\dfrac{{dx}}{{x\left( {1 + x} \right)}}} \\= - \dfrac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{1 + x}}} \right)dx} \\= - \dfrac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \left. {\ln \left| {\dfrac{x}{{1 + x}}} \right|} \right|_1^2\\= - \dfrac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \ln \dfrac{2}{3} - \ln \dfrac{1}{2}\\= \ln \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + \ln 2 + \ln \dfrac{2}{3} - \ln \dfrac{1}{2} = \ln \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}\end{array}\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 2. Tích phân

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.