Bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
3.6 trên 14 phiếu

Giải bài 5 trang 113 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân.

Đề bài

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\)    ;        b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

c) \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) \(\int\limits_{}^{} {{{\left( {ax + b} \right)}^n}}  = \frac{1}{a}\frac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

b) +) Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn phân thức trong dấu tích phân.

     +) Chia tử số cho mẫu số.

c) Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}a)\,\,\int\limits_0^1 {{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} = \left. {\frac{1}{3}.\frac{{{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}}} \right|_0^1\\= \left. {\frac{2}{{15}}.{{\left( {1 + 3x} \right)}^{\frac{5}{2}}}} \right|_0^1 = \frac{2}{{15}}\left( {{4^{\frac{5}{2}}} - 1} \right) = \frac{2}{{15}}.31 = \frac{{62}}{{15}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,\int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}dx} = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {x + 1} \right) + 1}}{{x + 1}}dx} \\= \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\left( {x + \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}}\\= \frac{1}{8} + \ln \frac{3}{2}\end{array}\)

c) Đặt  \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = \frac{1}{{{x^2}}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{1}{{1 + x}}dx\\v = - \frac{1}{x}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^2 {\frac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{{x^2}}}dx} = \left. { - \frac{1}{x}\ln \left( {1 + x} \right)} \right|_1^2 + \int\limits_1^2 {\frac{{dx}}{{x\left( {1 + x} \right)}}} \\= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \int\limits_1^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{1 + x}}} \right)dx} \\= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \left. {\ln \left| {\frac{x}{{1 + x}}} \right|} \right|_1^2\\= - \frac{1}{2}\ln 3 + \ln 2 + \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2}\\= \ln \frac{1}{{\sqrt 3 }} + \ln 2 + \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{2} = \ln \frac{{8\sqrt 3 }}{9}\end{array}\)

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan