Bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12


Giải bài 1 trang 112 SGK Giải tích 12. Tính các tích phân sau:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tính các tích phân sau:

LG a

\(\int_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{ (1-x)^{2}}dx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng \(\int\limits_{}^{} {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx}  = \dfrac{1}{a}\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l} \,\,\,\int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}dx} = \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\,\frac{1}{2}} {{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{2}{3}}}dx} \\ = \left. {\frac{1}{{ - 1}}.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{2}{3} + 1}}}}{{\frac{2}{3} + 1}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\\= \left. { - 1.\frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{5}{3}}}}}{{\frac{5}{3}}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \\ = \left. { - \frac{3}{5}{{\left( {1 - x} \right)}^{\frac{5}{3}}}} \right|_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\\= - \frac{3}{5}.\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{\frac{5}{3}}} - {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^{\frac{5}{3}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^5}}}}}} \right] \\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}} - \frac{{\sqrt[3]{{{3^3}{{.3}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{2^3}{{.2}^2}}}}}} \right]\\= - \frac{3}{5}\left[ {\frac{1}{{2\sqrt[3]{4}}} - \frac{{3\sqrt[3]{9}}}{{2\sqrt[3]{4}}}} \right] \\= \frac{3}{{10\sqrt[3]{4}}}\left( {3\sqrt[3]{9} - 1} \right)\end{array}\)

LG b

\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}sin(\dfrac{\pi}{4}-x)dx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm mở rộng:

\(\int\limits_{}^{} {\sin \left( {ax + b} \right)dx} \)\( =  - \dfrac{1}{a}\cos \left( {ax + b} \right) + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)dx} \)

\( =  - \frac{1}{{ - 1}}\left. {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)

\(= \left. {\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\)

\( = \cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) - \cos \frac{\pi }{4} = 0\)

LG c

\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1}{x(x+1)}dx\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phân tích: \(\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\) sau đó sử dụng công thức tính nguyên hàm mở rộng: \(\int\limits_{}^{} {\dfrac{1}{{ax + b}}dx}  = \dfrac{1}{a}.\ln \left| {ax + b} \right| + C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} \)

\( = \frac{{x + 1 - x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(= \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {\ln \left| x \right| - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \left. {\ln \left| {\frac{x}{{x + 1}}} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= \ln \frac{2}{3} - \ln \frac{1}{3} = \ln \left( {\frac{2}{3}:\frac{1}{3}} \right) = \ln 2\end{array}\).

LG d

\(\int_{0}^{2}x(x+1)^{2}dx\)

Phương pháp giải:

Nhân đa thức và áp dụng công thức nguyên hàm: \(\int\limits_{}^{} {{x^n}dx}  = \dfrac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,x{\left( {x + 1} \right)^2} = x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) \\= {x^3} + 2{x^2} + x\\\Rightarrow \int\limits_0^2 {x{{\left( {x + 1} \right)}^2}dx}\\ = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} + 2{x^2} + x} \right)dx} \\= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 \\= \left( {\frac{{{2^4}}}{4} + 2.\frac{{{2^3}}}{3} + \frac{{{2^2}}}{2}} \right) - 0\\= \frac{{34}}{3}\end{array}\)

LG e

\(\int_{\frac{1}{2}}^{2}\dfrac{1-3x}{(x+1)^{2}}dx\)

Phương pháp giải:

Phân tích đa thức trong tích phân dưới dạng : \(\dfrac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{A}{{x + 1}} + \dfrac{B}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) và sử dụng các công thức nguyên hàm:

\(\int\limits_{}^{} {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)

\(\int\limits_{}^{} {\dfrac{{dx}}{{{{\left( {ax + b} \right)}^2}}}}  = \dfrac{1}{a}\dfrac{{ - 1}}{{ax + b}} + C\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\,\,\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}  = \frac{{ - 3x - 3 + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\= \frac{{ - 3\left( {x + 1} \right) + 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\\\Rightarrow \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{1 - 3x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx} \\= \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\left( { - \frac{3}{{x + 1}} + \frac{4}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \right)dx} \\= - 3\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{x + 1}}} + 4\int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}} \\= - \left. {3\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_{\frac{1}{2}}^2 - \left. {\frac{4}{{x + 1}}} \right|_{\frac{1}{2}}^2\\= - 3\left( {\ln 3 - \ln \frac{3}{2}} \right) - 4\left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{3}} \right)\\= - 3\ln 2 + \frac{4}{3}\end{array}\)

LG g

\(\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}sin3xcos5xdx\)

Phương pháp giải:

Cách 1: Chứng minh hàm số \(f\left( x \right) = \sin 3x\cos 5x\) là hàm số lẻ và áp dụng công thức \(\int\limits_{ - a}^a {f\left( x \right)dx}  = 0\) (Với f(x) là hàm số lẻ, \(a \in R\).

Cách 2: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

Đặt \(f(x) = sin3xcos5x\) ta có:

\(f\left( { - x} \right) = \sin \left( { - 3x} \right)\cos \left( { - 5x} \right) \)\(=  - \sin 3x\cos 5x =  - f\left( x \right) \)

\(\Rightarrow \) hàm số đã cho là hàm số lẻ, từ đó ta có:

\(\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx}  = 0\).

Cách 2:

\(\begin{array}{l}\sin 3x\cos 5x \\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {3x + 5x} \right) + \sin \left( {3x - 5x} \right)} \right] \\= \frac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin \left( { - 2x} \right)} \right)\\= \frac{1}{2}\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)\\\Rightarrow \int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 3x\cos 5xdx} \\= \frac{1}{2}\int\limits_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 8x - \sin 2x} \right)dx} \\= \frac{1}{2}\left. {\left( { - \frac{{\cos 8x}}{8} + \frac{{\cos 2x}}{2}} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}\left( { - \frac{5}{8} - \left( { - \frac{5}{8}} \right)} \right) = 0\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 43 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Tích phân

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài