Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12


Giải bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:

LG a

\(\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(x+1)\sin xdx\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\sin xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\end{array}\)

\( =  - \left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)\cos \frac{\pi }{2} + \left( {0 + 1} \right)\cos 0 \)\(+ \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0\)

\(=0+1+1-0=2\)

LG b

\(\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \left. {\frac{{{x^3}}}{9}} \right|_1^e\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
= \ln e.\frac{{{e^3}}}{3} - \ln 1.\frac{{{1^3}}}{3} - \left( {\frac{{{e^3}}}{9} - \frac{{{1^3}}}{9}} \right)\\
= \frac{{{e^3}}}{3} - 0 - \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\
= \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\
= \frac{1}{9}\left( {2{e^3} + 1} \right)
\end{array}\)

LG c

\(\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx\);      

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
= 1.\ln \left( {1 + 1} \right) - 0.\ln \left( {0 + 1} \right)\\
- \left( {1 - \ln |1+1| - 0 + \ln |0+1|} \right)\\
= \ln 2 - 1 + \ln 2\\
= 2\ln 2 - 1
\end{array}\)

LG d

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x - 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x - 2} \right)dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 \\+ 2\int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 + 2{I_1}\\= 2{e^{ - 1}} - 1 + 2{I_1}\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = {e^{ - x}}\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow {I_1} = \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1\left. { - {e^{ - x}}} \right|_0^1\\= - 1 - \left( {{e^{ - 1}} - 1} \right) =- {e^{ - 1}}\end{array}\).

Vậy \(I = 2{e^{ - 1}} - 1 - 2{e^{ - 1}} =  - 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.4 trên 29 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Tích phân

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài