Bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12

Bình chọn:
4.5 trên 24 phiếu

Giải bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12. Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

Đề bài

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:

a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)   ;      b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)

c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x)dx\)      ;       d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\)

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\)

c) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\)

d) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x - 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\sin xdx} = \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= 1 + 1 = 2\end{array}\).

b) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx = \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \left. {\frac{{{x^3}}}{9}} \right|_1^e\\= \frac{{{e^3}}}{3} - \left( {\frac{{{e^3}}}{9} - \frac{1}{9}} \right) = \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9} = \frac{1}{9}\left( {2{e^3} + 1} \right)\end{array}\)

c) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} = \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\\= \ln 2 - \left( {1 - \ln 2} \right) = 2\ln 2 - 1\end{array}\)

d) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x - 2} \right)dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} = \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 + 2\int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 + 2{I_1}\\= 2{e^{ - 1}} - 1 + 2{I_1}\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = {e^{ - x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\dv = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow {I_1} = \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1\left. { - {e^{ - x}}} \right|_0^1\\= - 1 - \left( {{e^{ - 1}} - 1} \right) =- {e^{ - 1}}\end{array}\).

Vậy \(I = 2{e^{ - 1}} - 1 - 2{e^{ - 1}} =  - 1\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 2. Tích phân

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.