Giải bài 4 trang 113 SGK Giải tích 12


Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

GÓP Ý HAY - NHẬN NGAY QUÀ CHẤT

Gửi góp ý cho Loigiaihay.com và nhận về những phần quà hấp dẫn

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, hãy tính tích phân:

LG a

\(\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}(x+1)\sin xdx\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x + 1\\dv = \sin xdx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - \cos x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {x + 1} \right)\sin xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\= \left. { - \left( {x + 1} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\end{array}\)

\( =  - \left( {\frac{\pi }{2} + 1} \right)\cos \frac{\pi }{2} + \left( {0 + 1} \right)\cos 0 \)\(+ \sin \frac{\pi }{2} - \sin 0\)

\(=0+1+1-0=2\)

LG b

\(\int_{1}^{e}x^{2}\ln xdx\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = {x^2}dx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{x}\\v = \frac{{{x^3}}}{3}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_1^e {{x^2}\ln x} dx \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \frac{1}{3}\int\limits_1^e {{x^2}dx} \\= \left. {\left( {\ln x.\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_1^e - \left. {\frac{{{x^3}}}{9}} \right|_1^e\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
= \ln e.\frac{{{e^3}}}{3} - \ln 1.\frac{{{1^3}}}{3} - \left( {\frac{{{e^3}}}{9} - \frac{{{1^3}}}{9}} \right)\\
= \frac{{{e^3}}}{3} - 0 - \frac{{{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\
= \frac{{2{e^3}}}{9} + \frac{1}{9}\\
= \frac{1}{9}\left( {2{e^3} + 1} \right)
\end{array}\)

LG c

\(\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx\);      

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln \left( {1 + x} \right)\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \frac{{dx}}{{1 + x}}\\v = x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\ln \left( {x + 1} \right)dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{x}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\frac{{x + 1 - 1}}{{x + 1}}dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {\left( {1 - \frac{1}{{x + 1}}} \right)dx} \\= \left. {\left( {x.\ln \left( {1 + x} \right)} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {x - \ln \left| {x + 1} \right|} \right)} \right|_0^1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
= 1.\ln \left( {1 + 1} \right) - 0.\ln \left( {0 + 1} \right)\\
- \left( {1 - \ln |1+1| - 0 + \ln |0+1|} \right)\\
= \ln 2 - 1 + \ln 2\\
= 2\ln 2 - 1
\end{array}\)

LG d

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{-x}dx\)

Phương pháp giải:

Phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x - 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2} - 2x + 1\\dv = {e^{ - x}}dx\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {2x - 2} \right)dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 2x - 1} \right){e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 \\+ 2\int\limits_0^1 {\left( {x - 1} \right){e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|_0^1 + 2{I_1}\\= 2{e^{ - 1}} - 1 + 2{I_1}\end{array}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x - 1\\dv = {e^{ - x}}\end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = - {e^{ - x}}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\Rightarrow {I_1} = \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1 + \int\limits_0^1 {{e^{ - x}}dx} \\= \left. { - {e^{ - x}}\left( {x - 1} \right)} \right|_0^1\left. { - {e^{ - x}}} \right|_0^1\\= - 1 - \left( {{e^{ - 1}} - 1} \right) =- {e^{ - 1}}\end{array}\).

Vậy \(I = 2{e^{ - 1}} - 1 - 2{e^{ - 1}} =  - 1\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 49 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí