Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học

Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay

Giải bài 9 trang 40 SGK Hình học lớp 12

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a√2.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a
LG b

Cắt hình nón đỉnh $S$ bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt2$ .

LG a

a) Tính diện tích xuang quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng.

Phương pháp giải:

+) Cắt hình nón đỉnh $S$ bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền chính là đường kính của đường tròn đáy của hình nón. Từ đó suy ra bán kính đáy $r$ của hình nón.

+) Độ dài đường sinh $l$ của hình nón chính là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân.

+) Áp dụng công thức $h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}$ , tính độ dài đường cao của hình nón.

+) Tính diện tích xung quanh ${S_{xq}} = \pi rl$ , diện tích đáy ${S_đ} = \pi {r^2}$ và thể tích của khối nón: $V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h$ .

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác $SAB$ vuông cân tại S nên $SA = SB = a$ .

Cạnh huyền chính bằng đường kính đáy do vậy bán kính đáy $r = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$ , đường sinh $l = a$ .

Gọi $h$ là độ dài đường cao của hình nón ta có: $h = \sqrt {{l^2} - {r^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Vậy $S_{xq} = πrl =$ $\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi a^2$ ( đơn vị diện tích)

$S_{đáy}$ = $\pi r^{2}$ = $\pi \dfrac{a^{2}}{2}$ ( đơn vị diện tích);

$V$ nón = $\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h$ $= \dfrac{\sqrt{2}}{12}\pi a^{3}$ (đơn vị thể tích)

LG b

b) Cho một dây cung $BC$ của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc $60^0$ . Tính diện tích tam giác $SBC$ .

Phương pháp giải:

Xác định góc giữa (SBC) và mặt đáy.

Nhận xét $\Delta SBC$ là tam giác cân, hạ đường cao $SM$ của tam giác cân đó thì $M$ là trung điểm của $BC$ .

+) Dựa vào định lí Pitago tính $SM$ và $BC$ .

+) ${S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SM.BC$

Lời giải chi tiết:

Gọi tâm đáy là $O$ và trung điểm cạnh $BC$ là $M$ ta có: ${OM \bot BC}$ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Ta có:

$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} BC \bot OM\\ BC \bot SO \end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\ SM \bot BC\\ OM \bot BC \end{array} \right. \\\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;OM} \right)} = \widehat {SMO} = {60^0} \end{array}$

Ta có: $SM = \dfrac{{SO}}{{\sin 60}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$ .

$OM = SO.\cot 60 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$

Ta có $∆ OMB$ vuông ở $M$ nên $BM^{2}= BO^{2} - OM^{2} = \dfrac{a^{2}}{3}$

Vậy $BM = \dfrac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow BC =2BM= \dfrac{2a}{\sqrt{3}}$

Do đó $S = {{SM.BC}\over2}$ = $\dfrac{\sqrt{2}}{3}a^{2}$ (đơn vị diện tích).

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 15 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 10 trang 40 SGK Hình học lớp 12
Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy,
Giải bài 8 trang 40 SGK Hình học lớp 12
Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O;r) và (O';r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO' = r.√3.
Giải bài 7 trang 39 SGK Hình học lớp 12
Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r√3.
Giải bài 6 trang 39 SGK Hình học lớp 12
Cắt một hình nón bằng một mặt phẳng qua trục của nó ta được thiết diện là một tam giác đều canh 2a. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón đó.
Giải bài 5 trang 39 SGK Hình học lớp 12
Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và có khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm.
Giải bài 4 trang 39 SGK Hình học lớp 12
Trong không gian cho hai điểm A, B cố định và có độ dài AB = 20 cm,. Gọi d là một đường thẳng thay đổi luôn luôn đi qua A và cách B một khoảng bằng 10 cm
Giải bài 3 trang 39 SGK Hình học lớp 12
Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm.
Giải bài 2 trang 39 SGK Hình học 12
Trong mỗi trường hợp sau đây, hãy gọi tên các hình tròn xoay hoặc khối tròn xoay sinh ra bởi:
Giải bài 1 trang 39 SGK Hình học lớp 12
Cho đường tròn tâm O bán kính r nằm trên mặt phẳng (P). Từ những điểm M thuộc đường tròn này ta kẻ những đường thẳng vuông góc với (P).
Trả lời câu hỏi 3 trang 38 SGK Hình học 12
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...
Trả lời câu hỏi 2 trang 35 SGK Hình học 12
Hỏi hình nón đó có bán kính r của đường tròn đáy và góc ở đỉnh của hình nón bằng bao nhiêu ?...
Trả lời câu hỏi 1 trang 31 SGK Hình học 12
Hãy nêu tên một số đồ vật có hình dạng là các mặt tròn xoay....
Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay
1. Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và đường cong (C) nằm trong (P). Ta quay mặt phẳng (P) quanh một góc thì đường cong (C) tạo nên một hình gọi là mặt tròn xoay.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.