Toán 12 - Giải toán 12, giải bài tập toán lớp 12 đại số, hình học Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay

Giải bài 10 trang 40 SGK Hình học lớp 12


Đề bài

Cho hình trụ có bán kính \(r\) và có chiều cao cũng bằng \(r\). Một hình vuông \(ABCD\) có hai cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh \(BC\) và \(AD\) không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và cosin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Dựa vào định lí Pitago tính độ dài IB, từ đó suy ra độ dài đường chéo AC và BD của hình vuông.

+) Tính độ dài cạnh của hình vuông và diện tích hình vuông đó.

+) Xác đinh góc giữa hai mặt phẳng: Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\), chứng minh góc giữa \((ABCD)\) và mặt đáy bằng góc \(IEO\).

Lời giải chi tiết

Do tính chất đối xứng của \((ABCD)\) nên \((ABCD)\) cắt \(OO'\) tại trung điểm \(I\) của \(OO'\). \(I\) cũng là giao điểm của hai đường chéo \(AC,BD\).

Xét tam giác vuông \(IOB\) ta có: \(IB^2=IO^2+OB^2\)

\(\Rightarrow IB=\sqrt {{{\left( {{r \over 2}} \right)}^2} + {r^2}}  = {{r\sqrt 5 } \over 2}\)

\(\Rightarrow AC=BD=2IB=r\sqrt5\).

Do ABCD là hinh vuông nên \(AB= \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }}={{r\sqrt {10} } \over 2}\)

Vậy \(S_{ABCD}={AB}^2={{5{r^2}} \over 2}\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) 

\(\Rightarrow OE\bot AB, IE\bot AB\).

\(\Rightarrow \widehat {IEO}\) là góc giữa \((ABCD)\)  và mặt đáy của hình trụ.

Ta có: \(IE = \dfrac{1}{2}AD ={{r\sqrt {10} } \over 4}, OI={r\over 2}\).

Xét tam giác vuông IOE có: \(OE = \sqrt {I{E^2} - O{I^2}} \) \( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{r\sqrt {10} }}{4}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{r}{2}} \right)}^2}}\) \(  = \dfrac{{r\sqrt 6 }}{4}\)

\(cos\widehat {IEO}={{OE}\over {IE}}={\sqrt{15}\over5}\)

Loigiaihay.com

Bình chọn:
3.4 trên 27 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua