Giải SBT toán hình học và giải tích 12 nâng cao Ôn tập chương 2: Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón

Bài 48 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao


Giải bài 48 trang 63 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón.

LG 1

Tỉ số \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) theo r, h.

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì (P) cắt hình nón theo tam giác cân SAB, cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân.

Khi đó, bán kính \({r_1}\) của hình cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công thức

\({r_1} = {{rh} \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}.\)

Thể tích hình nón là \({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}h.\)

Thể tích hình cầu nội tiếp hình nón là \({V_2} = {{4\pi } \over 3}{\left( {{{rh} \over {r + \sqrt {{r^2} + {h^2}} }}} \right)^3}.\)

Vậy \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {1 \over 4}{{{{\left( {r + \sqrt {{r^2} + {h^2}} } \right)}^3}} \over {r{h^2}}}.\)

LG 2

Khi r và h thay đổi, tìm giá trị bé nhất của tỉ số \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\).

Lời giải chi tiết:

\({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {1 \over 4}{{{{\left( {\sqrt {1 + {{{h^2}} \over {{r^2}}}}  + 1} \right)}^3}} \over {{{{h^2}} \over {{r^2}}}}} = {1 \over 4}{{{{\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right)}^3}} \over x},\) ở đó \({{{h^2}} \over {{r^2}}} = x > 0.\)

Xét \(f(x) = {{{{\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right)}^3}} \over {4x}},f'(x) = {{{{\left( {\sqrt {1 + x}  + 1} \right)}^2}\left( {x - 2 - 2\sqrt {1 + x} } \right)} \over {4.2{x^2}\sqrt {x + 1} }}.\)

Vì \({{{{\left( {\sqrt {1 + x}  + 1} \right)}^2}} \over {4.2{x^2}\sqrt {x + 1} }} > 0\) nên khi xét dấu của f(x), ta chỉ cần xét dấu của \(g(x) = x - 2 - 2\sqrt {1 + x} .\) Ta có \(g'(x) = 1 - {1 \over {\sqrt {x + 1} }}.\)

Dễ thấy g’(x) > 0 vì khi x > 0 thì \({1 \over {\sqrt {x + 1} }} < 1,\) đồng thời g(x) = 0\( \Leftrightarrow x = 8.\)

Vậy g(x) là hàm tăng trên miền x > 0 và g(8) = 0 nên

với \(0 < x \le 8\) thì \(g(x) \le 0;\)

với \(8 < x <  + \infty \) thì g(x) > 0.

Bảng biến thiên của f(x)

Vậy giá trị bé nhất của \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) bằng 2.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store