Bài 48 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao

Giải bài 48 trang 63 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG 1
LG 2

Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của một hình nón. Kí hiệu \({V_1},{V_2}\) lần lượt là thể tích hình nón và thể tích hình cầu nội tiếp hình nón.

LG 1

Tỉ số \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) theo r, h.

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua trục của hình nón thì (P) cắt hình nón theo tam giác cân SAB, cắt mặt cầu theo đường tròn lớn, đường tròn này nội tiếp tam giác cân.

Khi đó, bán kính \({r_1}\) của hình cầu nội tiếp hình nón được tính bởi công thức

\({r_1} = {{rh} \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}.\)

Thể tích hình nón là \({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}h.\)

Thể tích hình cầu nội tiếp hình nón là \({V_2} = {{4\pi } \over 3}{\left( {{{rh} \over {r + \sqrt {{r^2} + {h^2}} }}} \right)^3}.\)

Vậy \({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {1 \over 4}{{{{\left( {r + \sqrt {{r^2} + {h^2}} } \right)}^3}} \over {r{h^2}}}.\)

LG 2

Khi r và h thay đổi, tìm giá trị bé nhất của tỉ số \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\).

Lời giải chi tiết:

\({{{V_1}} \over {{V_2}}} = {1 \over 4}{{{{\left( {\sqrt {1 + {{{h^2}} \over {{r^2}}}} + 1} \right)}^3}} \over {{{{h^2}} \over {{r^2}}}}} = {1 \over 4}{{{{\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right)}^3}} \over x},\) ở đó \({{{h^2}} \over {{r^2}}} = x > 0.\)

Xét \(f(x) = {{{{\left( {1 + \sqrt {1 + x} } \right)}^3}} \over {4x}},f'(x) = {{{{\left( {\sqrt {1 + x} + 1} \right)}^2}\left( {x - 2 - 2\sqrt {1 + x} } \right)} \over {4.2{x^2}\sqrt {x + 1} }}.\)

Vì \({{{{\left( {\sqrt {1 + x} + 1} \right)}^2}} \over {4.2{x^2}\sqrt {x + 1} }} > 0\) nên khi xét dấu của f(x), ta chỉ cần xét dấu của \(g(x) = x - 2 - 2\sqrt {1 + x} .\) Ta có \(g'(x) = 1 - {1 \over {\sqrt {x + 1} }}.\)

Dễ thấy g’(x) > 0 vì khi x > 0 thì \({1 \over {\sqrt {x + 1} }} < 1,\) đồng thời g(x) = 0\( \Leftrightarrow x = 8.\)

Vậy g(x) là hàm tăng trên miền x > 0 và g(8) = 0 nên

với \(0 < x \le 8\) thì \(g(x) \le 0;\)

với \(8 < x < + \infty \) thì g(x) > 0.

Bảng biến thiên của f(x)

Vậy giá trị bé nhất của \({{{V_1}} \over {{V_2}}}\) bằng 2.

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 49 trang 63, 64 SBT Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 49 trang 63, 64 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho hình nón đỉnh S có bán kính đáy R, ...
Bài 50 trang 64 SBT Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 50 trang 64 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Một hình nón có bán kính đáy r, ...
Bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 trang 64, 65, 66 SBT Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 trang 64, 65, 66 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Hình chóp D.ABC có ...
Bài 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 trang 67 SBT Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 trang 67 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4, ...
Bài 47 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 47 trang 63 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho tam giác AIB có IA=IB=2a, ...
Bài 46 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 46 trang 63 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD ...
Bài 45 trang 63 SBT Hình học 12 Nâng cao
Giải bài 45 trang 63 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho tứ diện đều ABCD...