Trắc nghiệm Bài tập ôn tập chương 5 Toán 8

Xét tam giác $ABD$ có:

$M$ là trung điểm của $AB$ (gt)

$Q$ là trung điểm của $AD$   (gt)

\( \Rightarrow \) $QM$ là đường trung bình của tam giác $ABD.$ (định lý)

Do đó $QM//BD$ và \(QM = \dfrac{1}{2}BD\) (1)

Tương tự ta cũng có $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD.$

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP//BD\\NP = \dfrac{1}{2}BD\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) 

Từ (1) và (2) ta suy ra $MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Tương tự ta cũng có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ nên $MN//AC$ và \(MN = \dfrac{1}{2}AC\)

Để hình bình hành $MNPQ$ là hình vuông \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot NP\\MN = NP\end{array} \right.\)

+ Để \(MN \bot NP \Leftrightarrow AC \bot BD\) (vì $MN//AC,{\rm{ }}NP//BD$ )

+  Để \(MN = NP \Leftrightarrow AC = BD\) (vì \(MN = \dfrac{1}{2}AC,NP = \dfrac{1}{2}BD\) )

Vậy điều kiện cần tìm để $MNPQ$ là hình vuông là \(BD = AC;BD \bot AC.\) .

Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ có chứa $A$ dựng tam giác $BHC$ vuông cân đỉnh $B.$

Xét tam giác $BHD$ và tam giác $BCA$ có: 

$DB = BA$  (Vì $ADBE$ là hình vuông)

\(\widehat {DBH} = \widehat {ABC}\) (vì cùng phụ với góc $HBA$ )

$BH = BC$  (vì tam giác $BHC$ vuông cân đỉnh $B$ )

Do đó: \(\Delta BHD = \Delta BCA\,\,(c.g.c)\), suy ra \(DH = AC,\widehat {BHD} = \widehat {BCA}\).

$AC$ cắt $HD$ tại $K,$ cắt $BH$ tại $I.$

Xét tam giác $IHK$ và tam giác $ICB$ có: \(\widehat {HIK} = \widehat {CIB}\) (đối đỉnh), \(\widehat {BHD} = \widehat {BCA}\), do đó \(\widehat {HKI} = \widehat {IBC} = {90^0} \Rightarrow KC \bot DH\)

Mặt khác \(KC \bot CF\), do đó $DH//CF$ .

Ta có $DH = CF{\rm{ }}\left( { = AC} \right)$ và $DH//CF$ nên $DHFC$ là hình bình hành.

Mà $M$ là trung điểm của $DF$ nên $M$ là trung điểm của $HC,$ suy ra tam giác $MBC$ vuông cân đỉnh $M.$