Trắc nghiệm Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) Toán 8
Đề bài
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$
-
B.
${\left( {A - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} - {B^3}$
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - {B^3}$
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Chọn câu đúng.
-
A.
\(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} = \left( {8 + {y^3}} \right)\).
-
B.
\({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {2x - y} \right)^3} = 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\).
-
D.
\({\left( {3a + 1} \right)^3} = 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\).
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x - 8} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x + 8} \right)^3}\).
Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x + 2} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x - 2} \right)^3}\).
Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
-
A.
\({x^3} + {\left( {3y} \right)^3}\).
-
B.
\({x^3} + {\left( {9y} \right)^3}\).
-
C.
\({x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\).
-
D.
\({x^3} - {\left( {9y} \right)^3}\).
Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.
-
A.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\).
-
B.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}\).
-
C.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}\).
-
D.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}\).
Tìm \(x\) biết \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)
-
A.
\(x = - 1\).
-
B.
\(x = 1\).
-
C.
\(x = - 2\).
-
D.
\(x = 0\).
Cho \(x\) thỏa mãn \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\(x = - 3\).
-
B.
\(x = 11\).
-
C.
\(x = 3\).
-
D.
\(x = 4\).
Cho biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) . Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 1001\)
-
A.
\(A = {1000^3}\)
-
B.
\(A = 1001\)
-
C.
\(A = {1000^3} - 1\)
-
D.
\(A = {1000^3} + 1\)
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Giá trị của biểu thức \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) khi \(x + y = 1\) là
-
A.
\(P = 3\)
-
B.
\(P = 1\)
-
C.
\(P = 5\)
-
D.
\(P = 0\)
Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\(P = Q\)
-
B.
\(P < Q\)
-
C.
$P > Q$
-
D.
$P = 2Q$
Giá trị của biểu thức \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\) là:
-
A.
$2$
-
B.
$3$
-
C.
$1$
-
D.
$4$
Cho \(a + b + c = 0\) . Giá trị của biểu thức \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) bằng
-
A.
\(B = 0\)
-
B.
\(B = 1\)
-
C.
\(B = 2\)
-
D.
\(B = 3\)
Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó
-
A.
\(A\) chia hết cho \(11\)
-
B.
\(A\) chia hết cho \(5\)
-
C.
Cả A, B đều đúng
-
D.
Cả A, B đều sai
Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó
-
A.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = b = 2c\)
-
B.
\(a = b = c\)
-
C.
\(a = 2b = c\)
-
D.
\(a = b = c = 2\)
Lời giải và đáp án
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$
-
B.
${\left( {A - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} - {B^3}$
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - {B^3}$
Đáp án : A
Ta có
\({\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) nên phương án C sai, A đúng.
\({\left( {A - B} \right)^3} \)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) nên phương án B sai, D sai
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Đáp án : D
Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
\({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Ta có \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) và \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) nên A, B đúng.
Vì \(A + B = B + A \)
\( \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {\left( {B + A} \right)^3}\) nên C đúng.
Vì \(A - B = - \left( {B - A} \right)\)
\( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\( = - {\left( {B - A} \right)^3}\) nên D sai.
Chọn câu đúng.
-
A.
\(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} = \left( {8 + {y^3}} \right)\).
-
B.
\({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {2x - y} \right)^3} = 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\).
-
D.
\({\left( {3a + 1} \right)^3} = 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\).
Đáp án : B
Sử dụng công thức lập phương của một tổng
\({\left( {A + B} \right)^3}\)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)
và lập phương của một hiệu
\({\left( {A - B} \right)^3}\)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)
Ta có \(8 + 12y + 6{y^2} + {y^3} \)\( = {2^3} + {3.2^2}y + 3.2.{y^2} + {y^3} \)\( = {\left( {2 + y} \right)^3} \ne \left( {8 + {y^3}} \right)\) nên A sai.
+Xét \({\left( {2x - y} \right)^3} \)\( = {\left( {2x} \right)^3} - 3.{\left( {2x} \right)^2}.y + 3.2x.{y^2} - {y^3}\)\( = 8{x^3} - 12{x^2}y + 6xy - {y^3}\)\( \ne 2{x^3} - 6{x^2}y + 6xy - {y^3}\) nên C sai.
+ Xét \({\left( {3a + 1} \right)^3} \)\( = {\left( {3a} \right)^3} + 3.{\left( {3a} \right)^2}.1 + 3.3a{.1^2} + 1\)\( = 27{a^3} + 27{a^2} + 9a + 1 \)\( \ne 3{a^3} + 9{a^2} + 3a + 1\) nên D sai
+ Xét \({a^3} + 3{a^2} + 3a + 1 = {\left( {a + 1} \right)^3}\) nên B đúng.
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x - 8} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x + 8} \right)^3}\).
Đáp án : A
Sử dụng công thức lập phương của một tổng \({A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3}\)
Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 \)\(= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} \)\(= {\left( {x + 4} \right)^3}\)
Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x + 2} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x - 2} \right)^3}\).
Đáp án : D
Sử dụng công thức lập phương của một hiệu \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\)
Ta có \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 \)\(= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} \)\(= {\left( {x - 2} \right)^3}\)
Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
-
A.
\({x^3} + {\left( {3y} \right)^3}\).
-
B.
\({x^3} + {\left( {9y} \right)^3}\).
-
C.
\({x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\).
-
D.
\({x^3} - {\left( {9y} \right)^3}\).
Đáp án : C
Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right) = {A^3} - {B^3}\)
Ta có \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right) = \left( {x - 3y} \right)\left( {x + x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right) \)\(= {x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\)
Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.
-
A.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\).
-
B.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}\).
-
C.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}\).
-
D.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}\).
Đáp án : A
Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\)
Ta có \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 3.{x^2} + {3^2}} \right) = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\)
Tìm \(x\) biết \({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)
-
A.
\(x = - 1\).
-
B.
\(x = 1\).
-
C.
\(x = - 2\).
-
D.
\(x = 0\).
Đáp án : A
Đưa vế trái về hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3}\)
Khi đó \({\left( {A + B} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow A = - B\)
Ta có
\({x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} = 0 \)
\(\Leftrightarrow x + 1 = 0 \)
\(\Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy \(x = - 1\)
Cho \(x\) thỏa mãn \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\(x = - 3\).
-
B.
\(x = 11\).
-
C.
\(x = 3\).
-
D.
\(x = 4\).
Đáp án : C
Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương và phép nhân đa thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 15\)$ \Leftrightarrow {x^3} + {2^3} - \left( {{x^3} - 2x} \right) = 14 $$\Leftrightarrow {x^3} + 8 - {x^3} + 2x = 14$
$ \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$.
Vậy \(x = 3\) .
Cho biểu thức \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\) . Tính giá trị của \(A\) khi \(x = 1001\)
-
A.
\(A = {1000^3}\)
-
B.
\(A = 1001\)
-
C.
\(A = {1000^3} - 1\)
-
D.
\(A = {1000^3} + 1\)
Đáp án : D
+ Thêm bớt vào \(A\) để đưa được về hằng đẳng thức \({\left( {x - 1} \right)^3}\) .
+ Từ đó thay \(x = 1001\) vào biểu thức tìm được.
Ta có \(A = {x^3} - 3{x^2} + 3x\)\( = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 1 \)\(= {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\)
Thay \(x = 1001\) vào \(A = {\left( {x - 1} \right)^3} + 1\) ta được \(A = {\left( {1001 - 1} \right)^3} + 1 \) suy ra \(A= {1000^3} + 1\)
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) để phân tích và rút gọn \(M\)
Ta có \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\)\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12\)
\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39\).
Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.
Giá trị của biểu thức \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\) khi \(x + y = 1\) là
-
A.
\(P = 3\)
-
B.
\(P = 1\)
-
C.
\(P = 5\)
-
D.
\(P = 0\)
Đáp án : B
Dùng các hằng đẳng thức đã biết ${A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right);$ \({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để biến đổi \(P\) về các biểu thức chứa \(x + y\) để sử dụng giả thiết \(x + y = 1\).
Ta có \({\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} \)\(\Leftrightarrow {x^3} + {y^3} \)\(= {\left( {x + y} \right)^3} - \left( {3{x^2}y + 3x{y^2}} \right)\)\( = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\)
Và \({\left( {x + y} \right)^2} \)\(= {x^2} + 2xy + {y^2} \)\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \)\(= {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy\)
Khi đó \(P = - 2\left( {{x^3} + {y^3}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\( = - 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^3} - 3xy\left( {x + y} \right)} \right] + 3\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]\)
Vì \(x + y = 1\) nên ta có \(P = - 2\left( {1 - 3xy} \right) + 3\left( {1 - 2xy} \right) \)\(= - 2 + 6xy + 3 - 6xy = 1\)
Vậy \(P = 1.\)
Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\(P = Q\)
-
B.
\(P < Q\)
-
C.
$P > Q$
-
D.
$P = 2Q$
Đáp án : A
Dùng hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn \(P\) và \(Q\) .
Sau đó tìm mối quan hệ giữa \(P\) và \(Q\).
Ta có \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\)\( = {\left( {4x} \right)^3} + 3.{\left( {4x} \right)^2}.1 + 3.4x{.1^2} + {1^3} - \left( {64{x^3} + 12x + 48{x^2} + 9} \right)\)
\( = 64{x^3} + 48{x^2} + 12x + 1 - 64{x^3} - 12x - 48{x^2} - 9= - 8\) nên \(P = - 8\)
+ \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3x{.2^2} - {2^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 6{x^2} - 18x + 5x\)
\( = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + x + 6{x^2} - 18x + 5x = - 8\)\( \Rightarrow Q = - 8\)
Vậy \(P = Q\) .
Giá trị của biểu thức \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\) là:
-
A.
$2$
-
B.
$3$
-
C.
$1$
-
D.
$4$
Đáp án : A
Dùng hằng đẳng thức
\({A^3} + {B^3} \)\(= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)và
\({A^3} - {B^3} \)\(= \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)để biến đổi và rút gọn \(E\) .
Ta có \(E = (x + 1)({x^2} - x + 1) - (x - 1)({x^2} + x + 1)\)\( = {x^3} + 1 - \left( {{x^3} - 1} \right) \)\(= {x^3} + 1 - {x^3} + 1 = 2\)
Vậy \(E = 2\) .
Cho \(a + b + c = 0\) . Giá trị của biểu thức \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\) bằng
-
A.
\(B = 0\)
-
B.
\(B = 1\)
-
C.
\(B = 2\)
-
D.
\(B = 3\)
Đáp án : A
+ Sử dụng hằng đẳng thức
\({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) và
\({A^3} + {B^3} \)\(= \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) để phân tích \(B\) về biểu thức chứa \(a + b + c\) .
+ Từ đó thay \(a + b + c = 0\) để tính giá trị biểu thức.
Ta có \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)\( \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
Từ đó \(B = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc\)\( = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {c^3} - 3abc\)\( = \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^3} + {c^3}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)
\( = \left( {a + b + c} \right)\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab\left( {a + b + c} \right)\)
Mà \(a + b + c = 0\) nên \(B = 0.\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - \left( {a + b} \right)c + {c^2}} \right] - 3ab.0 = 0\)
Vậy \(B = 0\) .
Cho \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {10^3}.\) Khi đó
-
A.
\(A\) chia hết cho \(11\)
-
B.
\(A\) chia hết cho \(5\)
-
C.
Cả A, B đều đúng
-
D.
Cả A, B đều sai
Đáp án : C
Sử dụng \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) với \(a,b\) nguyên thì \({a^3} + {b^3}\) chia hết cho \(\left( {a + b} \right)\)
Nếu \(a\,\, \vdots \,m,\,b\,\, \vdots \,\,m\) thì \(\left( {a + b} \right)\,\, \vdots \,\,m\)
Ta có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)
\( = \left( {{1^3} + {{10}^3}} \right) + \left( {{2^3} + {9^3}} \right) + \left( {{3^3} + {8^3}} \right) + \left( {{4^3} + {7^3}} \right) + \left( {{5^3} + {6^3}} \right)\)
\( = 11\left( {{1^2} - 10 + {{10}^2}} \right) + 11\left( {{2^2} - 2.9 + {9^2}} \right) + ... + 11\left( {{5^2} - 5.6 + {6^2}} \right)\)
Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(11\) nên \(A\, \vdots \,11.\)
Lại có \(A = {1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + {5^3} + {6^3} + {7^3} + {8^3} + {9^3} + {10^3}\)
\( = \left( {{1^3} + {9^3}} \right) + \left( {{2^3} + {8^3}} \right) + \left( {{3^3} + {7^3}} \right) + \left( {{4^3} + {6^3}} \right) + \left( {{5^3} + {{10}^3}} \right)\)
\( = 10\left( {{1^2} - 9 + {9^2}} \right) + 10\left( {{2^2} - 2.8 + {8^2}} \right) + ... + {5^3} + {10^3}\)
Vì mỗi số hạng trong tổng trên đều chia hết cho \(5\) nên \(A\, \vdots \,5.\)
Vậy \(A\) chia hết cho cả \(5\) và \(11.\)
Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó
-
A.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) và dữ kiện đề bài để biến đổi
Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) mà \(a = b + c\) nên
\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)b + {b^2}} \right]\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {b^2} - bc + {b^2}} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)
Tương tự ta có
\({a^3} + {c^3} = \left( {a + c} \right)\left( {{a^2} - ac + {c^2}} \right)\)
\( = \left( {a + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)c + {c^2}} \right]\)
\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {c^2} - bc + {c^2}} \right)\)
\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)
Từ đó ta có \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = b = 2c\)
-
B.
\(a = b = c\)
-
C.
\(a = 2b = c\)
-
D.
\(a = b = c = 2\)
Đáp án : D
Biến đổi giả thiết bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Từ đó đưa về dạng \({A^2} + {B^2} + {C^2} = 0 \Leftrightarrow A = B = C = 0\)
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 4b - 4c + 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + \left( {{b^2} - 4b + 4} \right) + \left( {{c^2} - 4c + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\)
Mà \({\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c.\)
Nên \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 2 = 0\\c - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 2\)
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 1 Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết