-
Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức
- Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
- Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
- Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
- Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức
- Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức
- Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
- Bài tập ôn tập chương 1
-
Chương 2: Phân thức đại số
-
Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 5: Tứ giác
-
Chương 6: Đa giác. Diện tích đa giác
-
Chương 7: Tam giác đồng dạng
- Bài 1,2: Định lý Ta-lét. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
- Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
- Bài 4: Hai tam giác đồng dạng
- Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất
- Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai
- Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba
- Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
Trắc nghiệm Bài 3: Rút gọn phân thức đại số Toán 8
Đề bài
Kết quả rút gọn của phân thức \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\) là
-
A.
\(\dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}\).
-
B.
\(\dfrac{{3{y^2}}}{{x + 3y}}\).
-
C.
\(\dfrac{{{y^2}}}{{2\left( {x + 3y} \right)}}\).
-
D.
\(\dfrac{{xy}}{{x + 3y}}\).
Rút gọn phân thức $\dfrac{{{a^2} - 2a - 8}}{{{a^2} + 2a}}$ ta được
-
A.
$\dfrac{a}{{2 + a}}$
-
B.
$\dfrac{{a - 4}}{{2 + a}}$
-
C.
$ - 8$
-
D.
$\dfrac{{a - 4}}{a}$
Cho \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) . Khi đó
-
A.
$A = 2$
-
B.
$A = 3$
-
C.
$A > 4$
-
D.
$A = 1$
Chọn câu đúng.
-
A.
$\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{25}}{9}$.
-
C.
$\dfrac{{4{x^3} + 4x^2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{4x^2}}{{{x^2} + 1}}$.
-
D.
$\dfrac{{{b^2} + b}}{{a + ab}} = \dfrac{a}{b}$.
Chọn câu sai.
-
A.
$\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{x}{y}$.
-
B.
$\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$.
-
C.
$\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} - 3x + 9}}$.
-
D.
$\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$.
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}\) ta được phân thức có tử là
-
A.
$a - b - c$
-
B.
$a + b + c$
-
C.
$a - b + c$
-
D.
$a + b - c$
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}}\) ta được phân thức có mẫu là
-
A.
$x - y$
-
B.
\(\dfrac{{x - y}}{{x + y}}\)
-
C.
$x + y$
-
D.
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)\)
Tìm $x$ biết ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$
-
A.
$x = a + 1$
-
B.
$x = 1 - a$
-
C.
$x = a + 2$
-
D.
$x = a - 1$
Rút gọn phân thức $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$ ta được :
-
A.
$\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)}}{{a - b}}$
-
B.
$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a - b}}$
-
C.
${\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}\left( {a + b} \right)^2$
-
D.
$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)$
Giá trị biểu thức \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\) là
-
A.
\(A = \dfrac{{10}}{2}\)
-
B.
$A = -\dfrac{6}{5}$
-
C.
$A =\dfrac{6}{5}$
-
D.
$A = \dfrac{25}{2}$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\).
-
A.
$\dfrac{1}{5}$
-
B.
$ - 1$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
$x = - 1$
-
B.
$x = 0$
-
C.
$x = 2$
-
D.
$x = 1$
Cho \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\). Kết luận nào sau đây là đúng.
-
A.
$P = \dfrac{{{a^2}x + a}}{{a + 1}}$.
-
B.
$P$ không phụ thuộc vào \(x\) .
-
C.
$P$ không phụ thuộc vào \(a\) .
-
D.
$P$ phụ thuộc vào cả \(a\) và $x$ .
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{3}{{x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.
-
A.
$x = - 3$
-
B.
\(x \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)
-
C.
\(x \in \left\{ { - 1;1; - 5; - 3} \right\}\)
-
D.
$x = - 1$
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}}\) có giá trị nguyên?
-
A.
$4$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).
-
A.
\(\dfrac{{18}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{4}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{9}{4}\)
-
D.
\(18\)
Rút gọn phân thức \(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\) ta được:
-
A.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2; x \ne 3\)
-
B.
\(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2; x \ne 0\)
-
C.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\)
-
D.
Cả A, B đều đúng
Tính giá trị biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}}\) tại \(x = 99\) và $y = 100$ .
-
A.
$M = - \dfrac{1}{{100}}$.
-
B.
$M = \dfrac{1}{{100}}$.
-
C.
$M = - \dfrac{1}{{200}}$.
-
D.
$M = \dfrac{1}{{200}}$.
Cho \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(a + b + c + d = 0;ab + ac + bc = 1\). Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\).
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\( - 3\)
Tính giá trị của phân thức \(C = \dfrac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{(a + b)}^2} + {{(b + c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}\) khi \(a + c - b = 10\).
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(5\)
Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c.\) Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\( - 2\)
Lời giải và đáp án
Kết quả rút gọn của phân thức \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}\) là
-
A.
\(\dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}\).
-
B.
\(\dfrac{{3{y^2}}}{{x + 3y}}\).
-
C.
\(\dfrac{{{y^2}}}{{2\left( {x + 3y} \right)}}\).
-
D.
\(\dfrac{{xy}}{{x + 3y}}\).
Đáp án : A
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có \(\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \dfrac{{6{x^2}y.\left( {x + 3y} \right).{y^2}}}{{6{x^2}y\left( {x + 3y} \right).3\left( {x + 3y} \right)}} = \dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}\).
Một số em có thể rút gọn hệ số sai như \(18 = 6.2\) dẫn đến sai đáp án.
Rút gọn phân thức $\dfrac{{{a^2} - 2a - 8}}{{{a^2} + 2a}}$ ta được
-
A.
$\dfrac{a}{{2 + a}}$
-
B.
$\dfrac{{a - 4}}{{2 + a}}$
-
C.
$ - 8$
-
D.
$\dfrac{{a - 4}}{a}$
Đáp án : D
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có $\dfrac{{{a^2} - 2a - 8}}{{{a^2} + 2a}} = \dfrac{{{a^2} - 4a + 2a - 8}}{{a\left( {a + 2} \right)}} = \dfrac{{a\left( {a - 4} \right) + 2\left( {a - 4} \right)}}{{a\left( {a + 2} \right)}}$$ = \dfrac{{\left( {a + 2} \right)\left( {a - 4} \right)}}{{a\left( {a + 2} \right)}} = \dfrac{{a - 4}}{a}$ .
Một số em có thể rút gọn nhầm ở bước cuối dẫn đến ra đáp án B sai.
Cho \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) . Khi đó
-
A.
$A = 2$
-
B.
$A = 3$
-
C.
$A > 4$
-
D.
$A = 1$
Đáp án : A
- Phân tích tử số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2\).
Một số em có thể bỏ qua hệ số \(2\) khi làm bài dẫn đến sai đáp án.
Chọn câu đúng.
-
A.
$\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{3}$.
-
B.
$\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{25}}{9}$.
-
C.
$\dfrac{{4{x^3} + 4x^2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{4x^2}}{{{x^2} + 1}}$.
-
D.
$\dfrac{{{b^2} + b}}{{a + ab}} = \dfrac{a}{b}$.
Đáp án : B
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
+) $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{5^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{3^2}{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \dfrac{{{5^2}}}{{{3^2}}} = \dfrac{{25}}{9}$ nên A sai, B đúng.
+) $\dfrac{{4{x^3} + 4x^2}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{4x^2\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{4x^2}}{{x - 1}}$ nên C sai.
+) $\dfrac{{{b^2} + b}}{{a + ab}} = \dfrac{{b\left( {b + 1} \right)}}{{a\left( {1 + b} \right)}} = \dfrac{b}{a}$ nên D sai.
Một số em có thể quên bình phương khi đưa ra ngoài ngoặc $\dfrac{{{{\left( {5a + 5b} \right)}^2}}}{{{{\left( {3a + 3b} \right)}^2}}} = \dfrac{{5{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{3{{\left( {a + b} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{3}$dẫn đến chọn A đúng, B sai.
Chọn câu sai.
-
A.
$\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{x}{y}$.
-
B.
$\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$.
-
C.
$\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} - 3x + 9}}$.
-
D.
$\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$.
Đáp án : C
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có $\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{{x\left( {2y - x} \right)}}{{y\left( {2y - x} \right)}} = \dfrac{x}{y}$ nên A đúng.
+) $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3x + 4x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ nên B đúng.
+) $\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} + 3x + 9}}$ nên C sai.
+) $\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{{5x{y^2}.5}}{{5x{y^2}.8{x^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$ nên D đúng.
Một số em có thể sai hằng đẳng thức \({x^3} - 27 = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\) dẫn đến chọn C đúng.
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}\) ta được phân thức có tử là
-
A.
$a - b - c$
-
B.
$a + b + c$
-
C.
$a - b + c$
-
D.
$a + b - c$
Đáp án : D
- Phân tích tử số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}} = \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b - c}}{1}\).
Một số em có thể nhầm hằng đẳng thức, chẳng hạn \({\left( {a + b} \right)^2} - {c^2} = \left( {a + b + c} \right)\left( {a - b - c} \right)\) dẫn đến sai kết quả.
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}}\) ta được phân thức có mẫu là
-
A.
$x - y$
-
B.
\(\dfrac{{x - y}}{{x + y}}\)
-
C.
$x + y$
-
D.
\(\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)\)
Đáp án : C
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có \(\dfrac{{{x^2} - xy - x + y}}{{{x^2} + xy - x - y}} = \dfrac{{x\left( {x - y} \right) - \left( {x - y} \right)}}{{x\left( {x + y} \right) - \left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + y} \right)}}\)\( = \dfrac{{x - y}}{{x + y}}\) .
Vậy mẫu thức của phân thức đã rút gọn là $x + y$ .
Một số em có thể không đọc kĩ yêu cầu đề bài chỉ tìm mẫu thức nên chọn luôn đáp án B.
Tìm $x$ biết ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$
-
A.
$x = a + 1$
-
B.
$x = 1 - a$
-
C.
$x = a + 2$
-
D.
$x = a - 1$
Đáp án : A
- Phân tích vế trái và vế phải thành nhân tử.
- Tìm $x$ theo \(a\) .
Ta có ${a^2}x - ax + x = {a^3} + 1$\( \Leftrightarrow x\left( {{a^2} - a + 1} \right) = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right) \Leftrightarrow x = a + 1\) vì \({a^2} - a + 1 = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ne 0,\,\forall a\) .
Vậy $x = a + 1$ .
Một số em có thể sai hằng đẳng thức \({a^3} + 1 = \left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)\) dẫn đến không ra đáp án.
Rút gọn phân thức $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$ ta được :
-
A.
$\dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)}}{{a - b}}$
-
B.
$\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{a - b}}$
-
C.
${\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}\left( {a + b} \right)^2$
-
D.
$\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {a + b} \right)$
Đáp án : C
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có $\dfrac{{{{\left( {{a^4} - {b^4}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$$ = \dfrac{{{{\left[ {\left( {{a^2} - {b^2}} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right]}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}} = \dfrac{{{{\left[ {\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right).\left( {{a^2} + {b^2}} \right)} \right]}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}}$
\( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^3}{{\left( {a + b} \right)}^3}.{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^3}}}{{\left( {b + a} \right)\left( {{a^2} + {b^2}} \right){{\left( {a - b} \right)}^3}}} = {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^2}\) .
Một số em có thể sai khi thực hiện phép rút gọn cuối chẳng hạn rút gọn sai \(\dfrac{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^3}}}{{{a^2} + {b^2}}} = {a^2} + {b^2}\) dẫn đến sai kết quả.
Giá trị biểu thức \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\) với \(x = \dfrac{1}{2}\) là
-
A.
\(A = \dfrac{{10}}{2}\)
-
B.
$A = -\dfrac{6}{5}$
-
C.
$A =\dfrac{6}{5}$
-
D.
$A = \dfrac{25}{2}$
Đáp án : B
- Rút gọn \(A\) .
- Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào biểu thức đã rút gọn.
Ta có \(A = \dfrac{{\left( {2{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}}} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^3} - 4{\rm{x}}} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \dfrac{{2x - 4}}{{x + 2}}\)
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(A = \dfrac{{2x - 4}}{{x + 2}}\) ta được \(A = \dfrac{{2.\dfrac{1}{2} - 4}}{{\dfrac{1}{2} + 2}} = \dfrac{-3}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{-6}{5}\) . Vậy \(x = \dfrac{1}{2}\) thì $A = \dfrac{-6}{5}$ .
Một số em có thể tính toán sai ở bước cuối \(A = \dfrac{{2.\dfrac{1}{2} + 4}}{{\dfrac{1}{2} + 2}} = \dfrac{5}{{\dfrac{5}{2}}} = \dfrac{{25}}{2}\) dẫn đến chọn sai đáp án.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\).
-
A.
$\dfrac{1}{5}$
-
B.
$ - 1$
-
C.
$5$
-
D.
$6$
Đáp án : A
- Phân tích mẫu số để sử dụng được kiến thức \({\left( {A + B} \right)^2} + m \ge m\,\,\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) . Từ đó tìm được GTNN của mẫu số.
- Lập luận để tìm GTNN của \(P\) .
Ta có \(P = \dfrac{1}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 6}}\)\( = \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1 + 5}} = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 5}}\)
Mà \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5 \ge 5,\,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra khi \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
nên GTNN của \({\left( {x + 1} \right)^2} + 5\) là \(5\) khi \(x = - 1\) .
Ta có \(P\) đạt GTLN \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 5\) đạt GTNN.
Hay GTLN của \(P\) là \(\dfrac{1}{5} \Leftrightarrow x = - 1\) .
Một số em có thể kết luận luôn sau khi đánh giá mẫu số có GTNN là \(5\) nên sai đáp án.
Với giá trị nào của \(x\) thì biểu thức \(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
A.
$x = - 1$
-
B.
$x = 0$
-
C.
$x = 2$
-
D.
$x = 1$
Đáp án : D
+ Tìm điều kiện xác định.
+ Biến đổi \(Q\) để sử dụng kiến thức \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\,\,\) với mọi \(A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) .
Với \({x^2} + 2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1\) . Ta có
\(Q = \dfrac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + 2{\rm{x}} + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}} - \dfrac{x}{{{x^2} + 2x + 1}}\) \( = 1 - \dfrac{x}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1 - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = 1 - \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1 = {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\)
Ta có \({\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\) với mọi \(x \ne - 1\). Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {TM} \right)\) .
Nên GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{3}{4} \Leftrightarrow x = 1\) .
Một số em có thể phân tích sai \(\dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 1}} + 1 = {\left( {\dfrac{1}{{x + 1}} - 1} \right)^2}\) dẫn đến sai đáp án.
Cho \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\). Kết luận nào sau đây là đúng.
-
A.
$P = \dfrac{{{a^2}x + a}}{{a + 1}}$.
-
B.
$P$ không phụ thuộc vào \(x\) .
-
C.
$P$ không phụ thuộc vào \(a\) .
-
D.
$P$ phụ thuộc vào cả \(a\) và $x$ .
Đáp án : B
Rút gọn \(P\) :
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có \(P = \dfrac{{\left( {{x^2} + a} \right)\left( {1 + a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}{{\left( {{x^2} - a} \right)\left( {1 - a} \right) + {a^2}{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + a{x^2} + a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}{{{x^2} - a{x^2} - a + {a^2} + {a^2}{x^2} + 1}}\) \( = \dfrac{{\left( {{x^2} + a{x^2} + {a^2}{x^2}} \right) + \left( {a + {a^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - a{x^2} + {a^2}{x^2}} \right) + \left( {{a^2} - a + 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{{x^2}\left( {1 + a + {a^2}} \right) + \left( {1 + a + {a^2}} \right)}}{{{x^2}\left( {1 - a + {a^2}} \right) + \left( {1 - a + {a^2}} \right)}} = \dfrac{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}} = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\)
Vậy \(P = \dfrac{{{a^2} + a + 1}}{{{a^2} - a + 1}}\) không phụ thuộc vào \(x\) .
Một số em có thể chọn luôn D do chưa rút gọn hoặc rút gọn sai \(P\) .
Tìm giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{3}{{x + 2}}\) có giá trị là một số nguyên.
-
A.
$x = - 3$
-
B.
\(x \in \left\{ { - 1;1} \right\}\)
-
C.
\(x \in \left\{ { - 1;1; - 5; - 3} \right\}\)
-
D.
$x = - 1$
Đáp án : C
Bước 1: Tìm điều kiện xác định.
Bước 2: Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) đạt giá trị nguyên khi \(A \vdots B\) , từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.
Điều kiện: \(x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\) .
Ta có \(\dfrac{3}{{x + 2}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow x + 2 \in \)Ư\(\left( 3 \right)\) \( = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) .
+ $x + 2 = - 1 \Leftrightarrow x = - 3\,\,\left( {TM} \right)$
+ \(x + 2 = 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 2 = - 3 \Leftrightarrow x = - 5\,\left( {TM} \right)\)
+ $x + 2 = 3 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {TM} \right)$
Vậy \(x \in \left\{ { - 1;1; - 5; - 3} \right\}\) .
Một số do xác định thiếu ước nguyên âm của \(3\) là \( - 1;\, - 3\) nên thiếu giá trị của \(x\) .
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để phân thức \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}}\) có giá trị nguyên?
-
A.
$4$
-
B.
$3$
-
C.
$2$
-
D.
$1$
Đáp án : A
- Tìm điều kiện xác định.
- Ta biến đổi để đưa phân thức về dạng \(M\left( x \right) + \dfrac{n}{B}\) .
- Phân thức \(\dfrac{n}{B}\) đạt giá trị nguyên khi \(n \vdots B\) , từ đó tìm được \(x\) .
- So sánh với điều kiện để kết luận các giá trị thỏa mãn.
Điều kiện: \(2x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - \dfrac{1}{2}\) .
Ta có \(\dfrac{{2{x^3} + {x^2} + 2x + 8}}{{2x + 1}} = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right) + \left( {2x + 1} \right) + 7}}{{2x + 1}}\)\( = \dfrac{{{x^2}\left( {2x + 1} \right)}}{{2x + 1}} + \dfrac{{2x + 1}}{{2x + 1}} + \dfrac{7}{{2x + 1}} = {x^2} + 1 + \dfrac{7}{{2x + 1}}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow {x^2} + 1 \in \mathbb{Z}\) nên để phân thức trên đạt giá trị nguyên thì \(\dfrac{7}{{2x + 1}} \in \mathbb{Z} \)
\(\Rightarrow 2x + 1 \in \) Ư\(\left( 7 \right) = \left\{ { - 7; - 1;1;7} \right\}\)
+) \(2x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = 7 \Leftrightarrow x = 3\,\left( {TM} \right)\)
+) \(2x + 1 = - 7 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\)
Vậy có \(4\) giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài là \(0;\, - 1;\,3;\, - 4\) .
Một số do xác định thiếu ước của \(7\) nên thiếu giá trị của \(x\) .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}\).
-
A.
\(\dfrac{{18}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{4}{9}\)
-
C.
\(\dfrac{9}{4}\)
-
D.
\(18\)
Đáp án : C
- Phân tích mẫu số để sử dụng được kiến thức \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m\,\,\) với mọi \(A,B\). Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\). Từ đó tìm được GTLN của mẫu số.
- Lập luận để tìm GTNN của \(Q\).
Ta có: \(Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} + 7}}\)\( = \dfrac{{18}}{{ - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 8}} = \dfrac{{18}}{{8 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\)
Ta có: \(Q\) đạt GTNN \( \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) đạt GTLN.
Mà \({\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 8,\,\forall x\) . Dấu “=” xảy ra khi \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
nên GTLN của \(8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\) là \(8\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\).
Hay GTNN của \(Q\) là \(\dfrac{{18}}{8} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\).
Rút gọn phân thức \(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\) ta được:
-
A.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2; x \ne 3\)
-
B.
\(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2; x \ne 0\)
-
C.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\)
-
D.
Cả A, B đều đúng
Đáp án : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - a\,\,khi\,\,a < 0\end{array} \right.\)
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử theo từng trường hợp.
+ Rút gọn phân thức.
\(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 5x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 2x - 3x + 6)}}\)\( = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x{\rm{[}}x(x - 2) - 3(x - 2){\rm{]}}}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x(x - 2)(x - 3)}}\)
Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0;2;3} \right\}\)
Nếu \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) thì \(|x - 2| = x - 2 \Rightarrow B = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}.\)
Nếu \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\) thì \(|x - 2| = 2 - x \Rightarrow B = \dfrac{{x(2 - x)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(3 - x)}} = \dfrac{1}{{3 - x}}.\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2;x \ne 3\) và \(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2;x \ne 0\).
Một số em chỉ xét 1 trường hợp \(\left| {x - 2} \right| = x - 2\) dẫn đến sai đáp án.
Tính giá trị biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}}\) tại \(x = 99\) và $y = 100$ .
-
A.
$M = - \dfrac{1}{{100}}$.
-
B.
$M = \dfrac{1}{{100}}$.
-
C.
$M = - \dfrac{1}{{200}}$.
-
D.
$M = \dfrac{1}{{200}}$.
Đáp án : A
- Rút gọn \(M\) .
- Thay giá trị \(x,\,y\) vào biểu thức đã rút gọn và thực hiện phép tính.
Ta có \(M = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - \left( {1 + 2xy} \right)}}{{{x^2} - {y^2} + 1 + 2x}} = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 2xy - 1}}{{{x^2} + 2x + 1 - {y^2}}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2} - {y^2}}} = \dfrac{{\left( {x - y + 1} \right)\left( {x - y - 1} \right)}}{{\left( {x + 1 - y} \right)\left( {x + 1 + y} \right)}} = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\)
Vậy \(M = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\) .
Thay \(x = 99\) và $y = 100$ vào \(M = \dfrac{{x - y - 1}}{{x + 1 + y}}\) ta được \(M = \dfrac{{99 - 100 - 1}}{{99 + 1 + 100}} = \dfrac{{ - 2}}{{200}} = \dfrac{{ - 1}}{{100}}\) .
Một số em nhầm dấu khi tính toán ở bước thay \(x,\,y\), \(M = \dfrac{{99 - 100 - 1}}{{99 + 1 + 100}} = \dfrac{2}{{200}} = \dfrac{1}{{100}}\) chẳng hạn dẫn đến sai đáp án.
Cho \(a,b,c,d\) thỏa mãn \(a + b + c + d = 0;ab + ac + bc = 1\). Rút gọn biểu thức \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\).
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\( - 3\)
Đáp án : C
Rút gọn \(P\) bằng cách sử dụng giả thiết để biến đổi tử thức sao cho xuất hiện nhân tử \(\left( {{a^2} + 1} \right),\left( {{b^2} + 1} \right),\left( {{c^2} + 1} \right)\).
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích tử thức thành nhân tử.
Ta có: \(a + b + c + d = 0 \Leftrightarrow a + b + c = - d\)
Khi đó \(ab - cd = ab + c\left( {a + b + c} \right) \)\(= ab + ac + bc + {c^2} = {c^2} + 1\) (vì \(ab + bc + ca = 1\))
Tương tự ta có \(bc - ad = bc + a\left( {a + b + c} \right) \)\(= {a^2} + bc + ab + ac = {a^2} + 1\)
\(ca - bd = ca + b\left( {a + b + c} \right) \)\(= {b^2} + ac + ab + bc = {b^2} + 1\)
Từ đó \(P = \dfrac{{3\left( {ab - cd} \right)\left( {bc - ad} \right)\left( {ca - bd} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{3\left( {{c^2} + 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)\left( {{b^2} + 1} \right)\left( {{c^2} + 1} \right)}} = 3\)
Vậy \(P = 3.\)
Tính giá trị của phân thức \(C = \dfrac{{{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc}}{{{{(a + b)}^2} + {{(b + c)}^2} + {{(c - a)}^2}}}\) khi \(a + c - b = 10\).
-
A.
\(0\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(5\)
Đáp án : D
+ Rút gọn \(C\).
+ Thay \(a + c - b = 10\) vào để tính \(C.\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^3} - {b^3} + {c^3} + 3abc\\ = ({a^3} + {c^3} + 3{a^2}c + 3a{c^2}) - 3{a^2}c - 3a{c^2} + 3abc - {b^3}\\ = {(a + c)^3} - {b^3} - 3ac(a + c - b)\\ = (a + c - b)\left[ {{{(a + c)}^2} + b(a + c) + {b^2}} \right] - 3ac(a + c - b)\\ = (a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\{(a + b)^2} + {(b + c)^2} + {(c - a)^2}\\ = ({a^2} + 2ab + {b^2}) + ({b^2} + 2bc + {c^2}) + ({c^2} - 2ac + {a^2})\\ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + 2ab + 2bc - 2ac\\ = 2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)\\ \Rightarrow C = \dfrac{{(a + c - b)({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}}{{2({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + bc - ac)}} = \dfrac{{a + c - b}}{2}\end{array}\)
Mà \(a + c - b = 10\) nên \(C = \dfrac{{a + c - b}}{2} = \dfrac{{10}}{2} = 5.\)
Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c.\) Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\( - 2\)
Đáp án : A
Rút gọn \(B\) bằng cách sử dụng giả thiết để biến đổi tử thức sao cho xuất hiện nhân tử \({a^2}{b^2}{c^2}\).
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {x \pm y} \right)^2} = {x^2} \pm 2xy + {y^2}\).
Ta có: \(a + b = c \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = - 2ab\)
\(a + b = c \Leftrightarrow a - c = - b \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = {\left( { - b} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 2ac + {c^2} = {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac\)
\(a + b = c \Leftrightarrow c - b = a \Leftrightarrow {\left( {c - b} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow {c^2} - 2bc + {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\)
Từ đó \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 2ab.2bc.2ac}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \dfrac{{ - 8{a^2}{b^2}{c^2}}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = - 1\).
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5,6: Cộng, trừ các phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7,8: Nhân, chia các phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Biến đổi các phân thức hữu tỉ Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 2 Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1: Phân thức đại số Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
