-
Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức
- Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
- Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
- Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
- Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức
- Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức
- Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
- Bài tập ôn tập chương 1
-
Chương 2: Phân thức đại số
-
Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 5: Tứ giác
-
Chương 6: Đa giác. Diện tích đa giác
-
Chương 7: Tam giác đồng dạng
- Bài 1,2: Định lý Ta-lét. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
- Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
- Bài 4: Hai tam giác đồng dạng
- Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất
- Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai
- Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba
- Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
Trắc nghiệm Bài 9: Biến đổi các phân thức hữu tỉ Toán 8
Đề bài
Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\) thành biểu thức đại số
-
A.
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B.
\(x + 1\).
-
C.
\(x - 1\).
-
D.
\(\dfrac{1}{{x - 1}}\).
Biểu thức \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thức đại số là
-
A.
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B.
\(x + 1\).
-
C.
\(x - 1\).
-
D.
\(\dfrac{1}{{x - 1}}\).
Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)
-
B.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}\).
-
C.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{8}{{{x^2} - 4}}\).
-
D.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2} - 4}}\).
Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
-
A.
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B.
\(x + 1\).
-
C.
\(x\).
-
D.
\(1\).
Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x \ne 2\).
-
C.
\(x > 2\).
-
D.
\(x < 2\).
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
-
A.
\(2018\).
-
B.
\(2022\).
-
C.
\(2016\).
-
D.
\(2024\).
Cho biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)
Với giá trị nào của \(x\) thì \(B\) xác định.
-
A.
\(x \ne \left\{ {0;2} \right\}\).
-
B.
\(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
-
C.
\(x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\).
-
D.
\(x \ne \left\{ {0; - 2} \right\}\).
Rút gọn \(B\) ta được:
-
A.
\(B = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\).
-
B.
\(B = \dfrac{1}{{x + 2}}\).
-
C.
\(B = \dfrac{4}{{x + 2}}\).
-
D.
\(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\).
Tìm \(x\) để \(B = \dfrac{1}{2}\) .
-
A.
\(x = 10\).
-
B.
\(x = - 10\).
-
C.
\(x = - 6\).
-
D.
\(x = 6\).
Tìm \(x\) để \(B\) dương.
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x < - 2\).
-
C.
\(x > - 2\).
-
D.
\(x < 2\).
Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) .
Rút gọn \(C\) ta được
-
A.
\(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\).
-
B.
\(C = \dfrac{{ - 3}}{{x - 3}}\).
-
C.
\(C = \dfrac{3}{{x + 3}}\).
-
D.
\(C = - \dfrac{3}{{x + 3}}\).
Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .
-
A.
\(C = - \dfrac{1}{2}\).
-
B.
\(C = 3\).
-
C.
\(C = - 3\).
-
D.
\(C = 0\).
Cho \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\) .
Biểu thức rút gọn của \(P\) là
-
A.
$P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$.
-
B.
$P = \dfrac{1}{{x + 2}}$.
-
C.
$P = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$.
-
D.
$P = \dfrac{4}{{x + 2}}$.
Tìm \(x\) để \(P = \dfrac{1}{x}\) .
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x = 1\).
-
C.
\(x = - 1\).
-
D.
\(x = - 2\).
Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) .
Rút gọn \(M\) ta được
-
A.
\(M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}\).
-
B.
\(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\).
-
C.
\(M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}\).
-
D.
\(M = \dfrac{3}{{x - 1}}\).
Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .
-
A.
\(M = 2\).
-
B.
\(M = \dfrac{1}{2}\).
-
C.
\(M = 3\).
-
D.
\(M = \dfrac{1}{6}\).
Để \(M = - 1\) thì giá trị của \(x\) là
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x = 4\).
-
C.
\(x = - 4\).
-
D.
\(x = - 2\).
Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(1\)
Cho \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(E > 0\) với mọi \(x \pm 1\) .
-
B.
\(E > 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)
-
C.
\(E > 0\) với mọi \(x < 0\)
-
D.
\(E < 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)
Cho \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\). Số giá trị của \(x \in Z\) để \(B \in \mathbb{Z}\) là:
-
A.
3
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
-2
Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\).
Rút gọn \(Q\) ta được:
-
A.
\(Q = \dfrac{{x + 1}}{3}\)
-
B.
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}\)
-
C.
\(Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}\)
-
D.
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:
-
A.
\(\dfrac{4}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{3}\)
-
D.
\(1\)
Cho \(x;y;z \ne 0\) thỏa mãn \(x + y + z = 0\). Tính giá trị biểu thức:
\(A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}\)
-
A.
\(A = \dfrac{1}{2}.\)
-
B.
\(A = - \dfrac{1}{2}.\)
-
C.
\(A = - \dfrac{3}{2}.\)
-
D.
\(A = \dfrac{3}{2}.\)
Lời giải và đáp án
Biến đổi biểu thức \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\) thành biểu thức đại số
-
A.
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B.
\(x + 1\).
-
C.
\(x - 1\).
-
D.
\(\dfrac{1}{{x - 1}}\).
Đáp án : D
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.
Ta có \(\dfrac{{1 + \dfrac{1}{x}}}{{x - \dfrac{1}{x}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{x + 1}}{x}}}{{\dfrac{{{x^2} - 1}}{x}}}\) \( = \dfrac{{x + 1}}{x}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{x} = \dfrac{{x + 1}}{x}.\dfrac{x}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 1}}\) .
Một số em có thể phân tích sai \({x^2} - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}\) hoặc \({x^2} - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\) dẫn đến sai đáp án.
Biểu thức \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\) được biến đổi thành phân thức đại số là
-
A.
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B.
\(x + 1\).
-
C.
\(x - 1\).
-
D.
\(\dfrac{1}{{x - 1}}\).
Đáp án : B
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để biến đổi một biểu thức hữu tỉ thành phân thức.
Ta có \(\dfrac{{x + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{1 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \dfrac{x}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}}}} = \dfrac{{\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}}}{{\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}}}}\) \( = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}:\dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2}}}.\dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} - x + 1}}\)
\( = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 1}} = x + 1\) .
Một số em có thể phân tích sai \({x^3} + 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)\) dẫn đến không ra kết quả.
Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)
-
B.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}\).
-
C.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{8}{{{x^2} - 4}}\).
-
D.
\(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right) = \dfrac{{ - 8}}{{{x^2} - 4}}\).
Đáp án : A
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(\left( {\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 4}} - \dfrac{1}{{{x^2} - 4x + 4}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}} \right):\left( {\dfrac{{x - 2 + x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right)\)
$ = \dfrac{{{x^2} - 4x + 4 - \left( {{x^2} + 4x + 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{2x}}$\( = \dfrac{{ - 8x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x}} = \dfrac{{ - 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 4}}{{{x^2} - 4}}\)
Một số em sai dấu dẫn đến sai đáp án.
Biết \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}\) . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống
-
A.
\(\dfrac{1}{{x + 1}}\).
-
B.
\(x + 1\).
-
C.
\(x\).
-
D.
\(1\).
Đáp án : D
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để để rút gọn biểu thức.
Ta có \(A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right)\)\( = \left( {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{{x^2}}}{x} - \dfrac{{2x}}{x}} \right)\) \( = \dfrac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\dfrac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}\)
\( = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{x}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{1}{{x + 1}}\) .
Vậy số cần điền là \(1\) .
Một số em sai do không rút gọn hết đến phân thức có mẫu \(x + 1\) dẫn đến chọn C sai.
Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x \ne 2\).
-
C.
\(x > 2\).
-
D.
\(x < 2\).
Đáp án: B
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
-
A.
\(2018\).
-
B.
\(2022\).
-
C.
\(2016\).
-
D.
\(2024\).
Đáp án: A
Bước 1: Rút gọn biểu thức
Bước 2: Thay \(x = 2020\) vào biểu thức rồi tính.
Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2\)
Thay \(x = 2020\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne 2\) ) vào biểu thức \(x - 2\) ta được \(2020 - 2 = 2018\) .
Vậy với \(x = 2020\) thì giá trị biểu thức là \(2018\) .
Cho biểu thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)
Với giá trị nào của \(x\) thì \(B\) xác định.
-
A.
\(x \ne \left\{ {0;2} \right\}\).
-
B.
\(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
-
C.
\(x \ne \left\{ { - 2;2} \right\}\).
-
D.
\(x \ne \left\{ {0; - 2} \right\}\).
Đáp án: B
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right):\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\) xác định khi
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\\{x^2} \ne 4\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.\) .
Một số em không tìm điều kiện có nghĩa của \(\dfrac{2}{x}\) dẫn đến thiếu điều kiện \(x \ne 0\) nên chọn sai đáp án.
Rút gọn \(B\) ta được:
-
A.
\(B = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\).
-
B.
\(B = \dfrac{1}{{x + 2}}\).
-
C.
\(B = \dfrac{4}{{x + 2}}\).
-
D.
\(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\).
Đáp án: D
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Phân thức \(B = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \dfrac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\dfrac{2}{x} - 1} \right)\)
\( = \left( {\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\dfrac{{2 - x}}{x}} \right)\)
$ = \left( {\dfrac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left[ {\dfrac{{ - \left( {x - 2} \right)}}{x}} \right]$
\( = \dfrac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x}\)
$ = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\dfrac{{\left[ { - \left( {x - 2} \right)} \right]}}{x} = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$
Vậy \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) .
Một số em sai dấu khi đổi \(2 - x = \left( {x - 2} \right)\) (thiếu dấu \( - \) ) nên sai đáp án.
Tìm \(x\) để \(B = \dfrac{1}{2}\) .
-
A.
\(x = 10\).
-
B.
\(x = - 10\).
-
C.
\(x = - 6\).
-
D.
\(x = 6\).
Đáp án: B
Bước 1: Sử dụng kết quả câu trước \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) sau đó cho \(B = \dfrac{1}{2}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .
Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận.
Theo câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
Ta có \(B = \dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 8}}{{2\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2\left( {x + 2} \right)}} \Rightarrow x + 2 = - 8 \Leftrightarrow x = - 10\,\left( {TM} \right)\).
Vậy \(x = - 10\) .
Một số em sai ở bước cuối thành \(x + 2 = - 8 \Leftrightarrow x = - 8 + 2 \Leftrightarrow x = - 6\) (do chuyến vế không đổi dấu) nên ra C sai.
Tìm \(x\) để \(B\) dương.
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x < - 2\).
-
C.
\(x > - 2\).
-
D.
\(x < 2\).
Đáp án: B
Bước 1: Sử dụng kết quả các câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\). Đánh giá tử số rồi suy ra điều kiện của mẫu số để \(B > 0\) , từ đó tìm \(x\) .
Bước 2: Kết hợp điều kiện rồi kết luận
Theo các câu trước ta có \(B = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}\) với \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\).
Để \(B > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}} > 0\) mà \( - 4 < 0 \Rightarrow x + 2 < 0 \Leftrightarrow x < - 2\) .
Kết hợp điều kiện \(x \ne \left\{ { - 2;0;2} \right\}\) ta có \(x < - 2\) .
Một số em không đánh giá tử số mà suy ra luôn \(x + 2 > 0\) nên chọn C sai.
Cho \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\) .
Rút gọn \(C\) ta được
-
A.
\(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\).
-
B.
\(C = \dfrac{{ - 3}}{{x - 3}}\).
-
C.
\(C = \dfrac{3}{{x + 3}}\).
-
D.
\(C = - \dfrac{3}{{x + 3}}\).
Đáp án: A
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)\)
\( = \left[ {\dfrac{{21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left( {\dfrac{{x + 3 - 1}}{{x + 3}}} \right)\) Điều kiện: \(x \ne \pm 3\)
\( = \dfrac{{21 + {x^2} - x - 12 - {x^2} + 4x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}\)
\( = \dfrac{{3x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}}\)
\( = \dfrac{3}{{x - 3}}\). Vậy \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) .
Tính giá trị biểu thức \(C\) tại \(x\) thỏa mãn \(\left| {2x + 1} \right| = 5\) .
-
A.
\(C = - \dfrac{1}{2}\).
-
B.
\(C = 3\).
-
C.
\(C = - 3\).
-
D.
\(C = 0\).
Đáp án: C
Bước 1: Từ điều kiện của giả thiết ta tìm \(x\) . So sánh với điều kiện để loại giá trị \(x\) không thỏa mãn điều kiện.
Bước 2: Thay \(x\) tìm được vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) rồi tính.
Ta có \(\left| {2x + 1} \right| = 5\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = - 3\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Thay \(x = 2\) vào \(C = \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được \(C = \dfrac{3}{{2 - 3}} = - 3\) .
Một số em có thể không loại giá trị \(x = - 3\) do không so sánh với điều kiện nên ra A sai.
Cho \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\) .
Biểu thức rút gọn của \(P\) là
-
A.
$P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$.
-
B.
$P = \dfrac{1}{{x + 2}}$.
-
C.
$P = \dfrac{{ - 4}}{{x + 2}}$.
-
D.
$P = \dfrac{4}{{x + 2}}$.
Đáp án: A
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(P = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^3} - 8}}{{{x^3} + 8}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{{x^2} - 4}}} \right):\dfrac{4}{{x + 2}}\)
\( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}.\dfrac{{{x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\) ĐK: \(x \ne \pm 2\)
\( = \left( {\dfrac{x}{{x + 2}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right).\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \left[ {\dfrac{{x\left( {x + 2} \right) - {x^2} - 2x - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}} \right].\dfrac{{x + 2}}{4}\)
\( = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}.\dfrac{{x + 2}}{4}\) \( = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}\) .
Vậy $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ .
Một số em sai dấu bước cuối hoặc quên không rút gọn hệ số dẫn đến chọn sai đáp án.
Tìm \(x\) để \(P = \dfrac{1}{x}\) .
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x = 1\).
-
C.
\(x = - 1\).
-
D.
\(x = - 2\).
Đáp án: C
Bước 1: Sử dụng kết quả đã rút gọn $P$ ở câu trước. Cho \(P = \dfrac{1}{x}\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .
Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận
Theo câu trước ta có $P = \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}}$ với \(\left( {x \ne \pm 2;\,x \ne 0} \right)\)
Để \(P = \dfrac{1}{x}\)$ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{x}$ \(\left( {x \ne \pm 2;\,x \ne 0} \right)\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - x}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\) \( \Rightarrow - x = x + 2 \Leftrightarrow 2x = - 2 \Leftrightarrow x = - 1\,\left( {TM} \right).\)
Vậy \(x = - 1\) .
Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) .
Rút gọn \(M\) ta được
-
A.
\(M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}\).
-
B.
\(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\).
-
C.
\(M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}\).
-
D.
\(M = \dfrac{3}{{x - 1}}\).
Đáp án: B
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) ĐK: \(x \ne \pm 1\)
\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{4x}}{{3\left( {x - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}}\) \( = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}} = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .
Vậy \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .
Một số em có thể sai hằng đẳng thức như \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\) dẫn đến sai đáp án.
Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .
-
A.
\(M = 2\).
-
B.
\(M = \dfrac{1}{2}\).
-
C.
\(M = 3\).
-
D.
\(M = \dfrac{1}{6}\).
Đáp án: A
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(M\) rồi tính.
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) (TMĐK) vào \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) ta được \(M = \dfrac{3}{{\dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{3}{{\dfrac{3}{2}}} = 3:\dfrac{3}{2} = 3.\dfrac{2}{3} = 2\) . Vậy với \(x = \dfrac{1}{2}\) thì \(M = 2\) .
Một số em rút gọn \(\dfrac{3}{{\dfrac{3}{2}}} = \dfrac{1}{2}\) sai nên chọn B sai.
Để \(M = - 1\) thì giá trị của \(x\) là
-
A.
\(x = 2\).
-
B.
\(x = 4\).
-
C.
\(x = - 4\).
-
D.
\(x = - 2\).
Đáp án: C
Bước 1: Cho \(M = - 1\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .
Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận
Để \(M = - 1\) thì \(\dfrac{3}{{x + 1}} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow - x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\) .
Vậy \(x = - 4\) .
Một số em chuyển vế nhưng không đổi dấu nên dẫn đến sai đáp án.
Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(1\)
Đáp án: C
Bước 1: Để \(M = \dfrac{a}{B}\) có giá trị nguyên thì \(B \in \) Ư\(\left( a \right)\) . Từ đó tìm được $x$ .
Bước 2: So sánh điều kiện \(x \ne \pm 1\) rồi kết luận.
ĐK: \(x \ne \pm 1\)
\(M\) có giá trị nguyên nghĩa là \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) có giá trị nguyên
Suy ra \(3 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) .
+ \(x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 2\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = - 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 4; - 2;2;0} \right\}\)
Cho \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(E > 0\) với mọi \(x \pm 1\) .
-
B.
\(E > 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)
-
C.
\(E > 0\) với mọi \(x < 0\)
-
D.
\(E < 0\) với mọi \(x > 0;\,x \ne 1\)
Đáp án : B
Bước 1: Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Bước 2: Đánh giá \(E\) để kết luận.
ĐK: \(x \pm 1\)
Ta có \(E = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{1 - {x^3}}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{1 + {x^3}}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {\dfrac{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{1 - x}} + x} \right).\left( {\dfrac{{\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x + {x^2}} \right)}}{{1 + x}} - x} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {\left( {1 + 2x + {x^2}} \right).\left( {1 - 2x + {x^2}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{{x{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}:\left[ {{{\left( {1 + x} \right)}^2}.{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]\) \( = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}}\) .
Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 +x} \right)}^2}}}\)
Ta thấy với \(x \pm 1\) thì \(1 + {x^2} \ge 1 > 0\) và \({\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) nên \(\left( {1 + {x^2}} \right){\left( {1 + x} \right)^2} > 0\) .
Suy ra \(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow x > 0\) nên B đúng, A, C sai.
\(E = \dfrac{x}{{\left( {1 + {x^2}} \right){{\left( {1 + x} \right)}^2}}} < 0 \Rightarrow x < 0\) nên D sai.
Cho \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\). Số giá trị của \(x \in Z\) để \(B \in \mathbb{Z}\) là:
-
A.
3
-
B.
0
-
C.
2
-
D.
-2
Đáp án : C
Sử dụng kiến thức biến đổi biểu thức hữu tỉ; tìm điều kiện để biểu thức có giá trị nguyên.
+) Tìm ĐKXĐ của B.
+) Tách B về dạng \(B = a + \dfrac{b}{{MS}},\,\,a,\,\,b \in Z.\)
+) Đề \(B \in Z\) thì \(\dfrac{b}{{MS}} \in Z \Leftrightarrow MS \in Ư\left( b \right).\)
+) Tìm Ư(b) sau đó lập bảng, giải phương trình tìm x.
+) Xét xem các giá trị của x có thỏa mãn ĐKXĐ của bài toán hay không rồi kết luận x.
ĐKXĐ: \(x \ne 2.\)
Ta có: \(B = \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}}\)
\(B = 1 + \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}} \in Z \Leftrightarrow x - 2 \in Ư(1) = \left\{ { \pm 1} \right\}\).
Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\).
Rút gọn \(Q\) ta được:
-
A.
\(Q = \dfrac{{x + 1}}{3}\)
-
B.
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}\)
-
C.
\(Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}\)
-
D.
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Đáp án: D
+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
+) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)
\(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\)
\(= \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right].\dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\)
\( = \dfrac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Vậy \(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\).
Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:
-
A.
\(\dfrac{4}{3}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\dfrac{5}{3}\)
-
D.
\(1\)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước.
Đánh giá \({A^2} + m \ge m,\,\forall A\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0.\)
Ta có: Q = \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne 0;x \ne \pm 1\).
Ta có: \({x^2} \ge 4\,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 5\,\,\forall x \ge 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \dfrac{5}{3} \,\,\forall x \ge 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\left( {tm} \right)\).
Vậy \(Min\,\,Q = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = 2\).
Cho \(x;y;z \ne 0\) thỏa mãn \(x + y + z = 0\). Tính giá trị biểu thức:
\(A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}\)
-
A.
\(A = \dfrac{1}{2}.\)
-
B.
\(A = - \dfrac{1}{2}.\)
-
C.
\(A = - \dfrac{3}{2}.\)
-
D.
\(A = \dfrac{3}{2}.\)
Đáp án : C
Phát hiện tính quy luật của biểu thức. Từ đó đưa bài toán ban đầu về bài toán đơn gian hơn. Và sử dụng kỹ năng tính toán thường gặp.
Từ \(x + y + z = 0 \Rightarrow x + y = - z \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - {z^2} = - 2xy\).
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} - {x^2} = - 2yz\\{z^2} + {x^2} - {y^2} = - 2zx\end{array} \right.\)
Do đó: \(A = \dfrac{{xy}}{{ - 2xy}} + \dfrac{{yz}}{{ - 2yz}} + \dfrac{{zx}}{{ - 2zx}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{3}{2}\).
Vậy \(A = - \dfrac{3}{2}.\)
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 2 Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7,8: Nhân, chia các phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5,6: Cộng, trừ các phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3: Rút gọn phân thức đại số Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1: Phân thức đại số Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
