-
Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức
- Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
- Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
- Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
- Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức
- Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức
- Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
- Bài tập ôn tập chương 1
-
Chương 2: Phân thức đại số
-
Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 5: Tứ giác
-
Chương 6: Đa giác. Diện tích đa giác
-
Chương 7: Tam giác đồng dạng
- Bài 1,2: Định lý Ta-lét. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
- Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
- Bài 4: Hai tam giác đồng dạng
- Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất
- Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai
- Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba
- Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
Trắc nghiệm Bài 9: Hình chữ nhật Toán 8
Đề bài
Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có
-
A.
Bốn góc vuông
-
B.
Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
-
C.
Hai đường chéo vuông góc với nhau
-
D.
Các cạnh đối bằng nhau
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Hình thang có một góc vuông là hình chữ nhật.
-
B.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
-
C.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
-
D.
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
Chọn câu sai. Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật khi:
-
A.
\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {90^ \circ }\)
-
B.
\(\widehat A = \widehat B = {90^ \circ }\) và $AB{\rm{//}}CD$ .
-
C.
$AB = CD = AD = BC$
-
D.
$AB{\rm{//}}CD;AB = CD$ và $AC = BD$ .
Hãy chọn câu trả lời đúng. Hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật khi:
-
A.
\(AB = BC.\)
-
B.
\(AC = BD.\)
-
C.
\(BC = CD.\)
-
D.
\(AC \bot BD.\)
Hãy chọn câu đúng. Cho \(\Delta ABC\) với \(M\) thuộc cạnh \(BC.\) Từ \(M\) vẽ \(ME\) song song với \(AB\) và \(MF\) song song với \(AC.\) Hãy xác định điều kiện của \(\Delta ABC\) để tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật.
-
A.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) .
-
B.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) .
-
C.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) .
-
D.
\(\Delta ABC\) đều.
Cho tam giác $ABC,$ đường cao $AH$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC,E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Tứ giác $AECH$ là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA.\) Tứ giác \(ABCD\) cần có điều kiện gì để \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
-
A.
\(AB = BC.\)
-
B.
\(BC = CD.\)
-
C.
\(AD = DC.\)
-
D.
\(AC \bot BD.\)
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:
-
A.
$10\,cm$
-
B.
$9\,cm\;\;\;\;$
-
C.
$5\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$8\,cm$
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AC = 6\,cm$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:
-
A.
$6\,cm\;\;\;\;$
-
B.
$36\,cm$
-
C.
$18\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$12\,cm$
Cho tam giác \(ABC\) với ba trung tuyến \(AI,BD,CE\) đồng quy tại \(G.\) \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(GC\) và \(GB.\)
Tứ giác \(MNED\) là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Để \(MNED\) là hình chữ nhật thì tam giác \(ABC\) cần có điều kiện:
-
A.
\(\Delta ABC\) đều.
-
B.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)
-
C.
\(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)
-
D.
\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = a, BC = b(a>b).$ Các phân giác trong của các góc $A, B, C, D$ tạo thành tứ giác $MNPQ.$
Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật$MNPQ$ theo \(a,\,b\) .
-
A.
\(QN = a - 2b\).
-
B.
\(QN = a - b\).
-
C.
\(QN = a + b\).
-
D.
\(QN = \dfrac{{a + b}}{2}\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) điểm \(M\) thuộc cạnh huyền \(BC.\) Gọi \(D,E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,AC.\)
Tứ giác \(ADME\) là hình gì?
-
A.
Hình thang
-
B.
Hình chữ nhật
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình vuông
Điểm \(M\) ở vị trí nào trên \(BC\) thì \(DE\) có độ dài nhỏ nhất?
-
A.
\(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\)
-
B.
\(M\) là trung điểm của \(BC.\)
-
C.
\(M\) trùng với \(B\)
-
D.
Đáp án khác
Tính độ dài nhỏ nhất của \(DE\) khi \(M\) di chuyển trên BC biết \(AB = 15cm;AC = 20cm.\)
-
A.
\(9\,cm\)
-
B.
\(15\,cm\)
-
C.
\(8\,cm\)
-
D.
\(12\,cm\)
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = a;\,AD = b\) . Cho $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là các đỉnh của tứ giác $MNPQ$ và lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $BC$ ,$CD,DA$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$ .
-
A.
\({a^2} + {b^2}\).
-
B.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
C.
\(2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
D.
\(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).
Lời giải và đáp án
Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có
-
A.
Bốn góc vuông
-
B.
Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
-
C.
Hai đường chéo vuông góc với nhau
-
D.
Các cạnh đối bằng nhau
Đáp án : C
Sử dụng định nghĩa và tính chất hình chữ nhật:
+ Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
+ Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình hành, của hình thang cân.
- Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối bằng nhau, hai góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Từ định nghĩa và tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai.
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Hình thang có một góc vuông là hình chữ nhật.
-
B.
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
-
C.
Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
-
D.
Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
Đáp án : A
+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên D đúng.
+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên B đúng.
+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên C đúng.
+ Hình thang có một góc vuông thì là hình thang vuông nên A sai.
Chọn câu sai. Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật khi:
-
A.
\(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {90^ \circ }\)
-
B.
\(\widehat A = \widehat B = {90^ \circ }\) và $AB{\rm{//}}CD$ .
-
C.
$AB = CD = AD = BC$
-
D.
$AB{\rm{//}}CD;AB = CD$ và $AC = BD$ .
Đáp án : C
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.
+ Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật
+ Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.
+ Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật
+ Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
+ Ta thấy $AB = CD = AD = BC$ thì \(ABCD\) chỉ có bốn cạnh bằng nhau nên \(ABCD\) chưa chắc là hình chữ nhật.
+ Nếu \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {90^ \circ }\) thì tứ giác $ABCD$ có ba góc vuông nên $ABCD$ là hình chữ nhật.(do dấu hiệu tứ giác có ba góc vuông)
+ Nếu \(\widehat A = \widehat B = {90^ \circ }\) và $AB{\rm{//}}CD$ thì tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$ ; $AB{\rm{//}}CD$ nên $ABCD$ là hình bình hành, lại có \(\widehat A = {90^ \circ }\) nên $ABCD$ là hình chữ nhật. (do dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông)
+ Nếu $AB{\rm{//}}CD;AB = CD$ và $AC = BD$ thì $ABCD$ là hình bình hành (do có cặp cạnh đối $AB$ ; $CD$ song song và bằng nhau), lại có hai đường chéo bằng nhau $AC=BD$ nên $ABCD$ là hình chữ nhật (do dấu hiệu hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau).
Hãy chọn câu trả lời đúng. Hình bình hành \(ABCD\) là hình chữ nhật khi:
-
A.
\(AB = BC.\)
-
B.
\(AC = BD.\)
-
C.
\(BC = CD.\)
-
D.
\(AC \bot BD.\)
Đáp án : B
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên hình bình hành \(ABCD\) có \(AC = BD\) thì \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Hãy chọn câu đúng. Cho \(\Delta ABC\) với \(M\) thuộc cạnh \(BC.\) Từ \(M\) vẽ \(ME\) song song với \(AB\) và \(MF\) song song với \(AC.\) Hãy xác định điều kiện của \(\Delta ABC\) để tứ giác \(AEMF\) là hình chữ nhật.
-
A.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) .
-
B.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) .
-
C.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(C\) .
-
D.
\(\Delta ABC\) đều.
Đáp án : A
Bước 1: Chứng minh \(AEMF\) là hình bình hành.
Bước 2: Dựa vào dấu hiệu nhận biết “hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật” để suy ra điều kiện của tam giác \(ABC\) để \(AEMF\) là hình chữ nhật.
Từ giả thiết ta có \(ME{\rm{//}}AF;\,MF{\rm{//}}AE\) nên tứ giác \(AEMF\) là hình bình hành (dhnb).
Để hình bình hành \(AEMF\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {EAF} = 90^\circ \) nên tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) .
Cho tam giác $ABC,$ đường cao $AH$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC,E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Tứ giác $AECH$ là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Đáp án : A
+ Chứng minh $AECH$ là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+ Chứng minh hình bình hành $AECH$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
Xét tứ giác $AECH$ có: $I$ là trung điểm của $AC$ (gt); $I$ là trung điểm của $HE$ (do $H$ và $E$ đối xứng nhau qua $I$ )
Do đó $AECH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Lại có \(\widehat {AHC} = {90^ \circ }\) , nên $AECH$ là hình chữ nhật (dhnb).
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA.\) Tứ giác \(ABCD\) cần có điều kiện gì để \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
-
A.
\(AB = BC.\)
-
B.
\(BC = CD.\)
-
C.
\(AD = DC.\)
-
D.
\(AC \bot BD.\)
Đáp án : D
Bước 1: Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành bằng cách chứng minh cặp cạnh song song và bằng nhau được suy ra từ tính chất đường trung bình.
Bước 2: Dựa vào dấu hiệu nhận biết “hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật” suy ra điều kiện của \(ABCD\) để hình bình hành \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Nối \(AC\) , $BD$.
+ Xét tam giác \(ABD\) có \(M,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB;\,AD\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\)
Suy ra \(MQ{\rm{//}}BD;\,MQ = \dfrac{1}{2}BD\) \(\left( 1 \right)\) .
+ Tương tự, xét tam giác \(CBD\) có \(N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC;\,CD\) nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(CBD\). Suy ra \(NP{\rm{//}}BD;\,NP = \dfrac{1}{2}BD\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right) \Rightarrow MQ{\rm{//}}NP;\,MQ = NP \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
+ Để hình bình hành \(MNPQ\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {MQP} = 90^\circ \) hay \(MQ \bot QP\)
Lại có \(QP{\rm{//}}AC\) (do \(QP\) là đường trung bình của tam giác \(DAC\) ) nên \(MQ \bot AC\) mà \(MQ{\rm{//}}BD\) (cmt) nên \(AC \bot BD\) .
Vậy tứ giác \(ABCD\) cần có \(AC \bot BD\) thì \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:
-
A.
$10\,cm$
-
B.
$9\,cm\;\;\;\;$
-
C.
$5\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$8\,cm$
Đáp án : C
Bước 1: Áp dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh huyền.
Bước 2: Sử dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền để tính độ dài đường trung tuyến.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$ hay $B{C^2} = {6^2} + {8^2}$\( \Rightarrow \)$B{C^2} = 100$ . Suy ra $BC = 10\,\left( {cm} \right)$
Do $AH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên
$AH = BC:2 = 10:2 = 5\left( {cm} \right)$
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AC = 6\,cm$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:
-
A.
$6\,cm\;\;\;\;$
-
B.
$36\,cm$
-
C.
$18\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$12\,cm$
Đáp án : D
Bước 1: Trước hết ta chứng minh $ADME$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật.
Bước 2: Chứng minh tam giác$BDM$ vuông cân tại $D$ để suy ra$BD = DM$ .
Bước 3: Tính chu vi $ADME$ thông độ dài cạnh tam giác vuông cân.
+ Xét tứ giác $ADME$ có \(\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }\) nên $ADME$ là hình chữ nhật.
+ Xét tam giác $DMB$ có \(\widehat B = {45^ \circ }\)(do tam giác $ABC$ vuông cân) nên tam giác $BDM$ vuông cân tại$D$ . Do đó$DM = BD$ .
+ Do $ADME$ là hình chữ nhật nên chu vi$ADME$ là:
$\left( {AD + DM} \right).2 = \left( {AD + BD} \right).2 = 6.2 = 12\left( {cm} \right)$
Vậy chu vi $ADME$ là $12\,cm$ .
Cho tam giác \(ABC\) với ba trung tuyến \(AI,BD,CE\) đồng quy tại \(G.\) \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(GC\) và \(GB.\)
Tứ giác \(MNED\) là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Đáp án: B
Sử dụng các đường trung bình của tam giác suy ra cặp cạnh \(ED;\,MN\) song song và bằng nhau nên \(MNED\) là hình bình hành.
+ Xét tam giác \(ABC\) có \(E\) là trung điểm \(AB;\,D\) là trung điểm \(AC\) nên \(ED\) lad đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow ED{\rm{//}}BC;\,ED = \dfrac{1}{2}BC\,\,\left( 1 \right)\) .
+ Xét tam giác \(GBC\) có \(N\) là trung điểm của \(GB;\,M\) là trung điểm \(GC\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(GBC \Rightarrow MN{\rm{//}}BC;\,MN = \dfrac{1}{2}BC\,\,\left( 2 \right)\) .
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right)\, \Rightarrow MN{\rm{//}}ED;\,MN = ED\) nên tứ giác \(MNED\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Để \(MNED\) là hình chữ nhật thì tam giác \(ABC\) cần có điều kiện:
-
A.
\(\Delta ABC\) đều.
-
B.
\(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)
-
C.
\(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)
-
D.
\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Đáp án: C
Bước 1: Chứng minh \(EN{\rm{//}}AI\) bằng tính chất đường trung bình.
Bước 2: Sử dụng dấu hiệu nhận biết “hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật” để suy ra \(EN \bot NM\) .
Bước 3: Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song để suy ra \(AI\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) .
+ Xét tam giác \(ABG\) có \(EN\) là đường trung bình nên \(EN{\rm{//}}AG\) hay \(EN{\rm{//}}AI\).
+ Để hình bình hành \(MNED\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {ENM} = 90^\circ \Rightarrow EN \bot MN\) . Mà \(MN{\rm{//}}BC\) (câu a) nên \(EN \bot BC\).
+ Lại có \(EN{\rm{//}}AI\) suy ra \(AI \bot BC\) .
Xét tam giác \(ABC\) có \(AI\) vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) .
Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = a, BC = b(a>b).$ Các phân giác trong của các góc $A, B, C, D$ tạo thành tứ giác $MNPQ.$
Tứ giác $MNPQ$ là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Đáp án: A
Ta chứng minh $QPNM$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật.
Ta có \(\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = \dfrac{1}{2}\widehat {BAD} + \dfrac{1}{2}\widehat {ADC} = \dfrac{1}{2}\left( {\widehat {BAD} + \widehat {ADC}} \right)\) \( = \dfrac{1}{2}.180^\circ \) (do \(ABCD\) là hình bình hành)
Nên \(\widehat {QAD} + \widehat {QDA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {AQD} = 90^\circ \) (định lý tổng ba góc trong tam giác)
Nên \(AQ \bot DQ\). Suy ra \(\widehat {MQP} = {90^ \circ }\).
Tương tự : \(\widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\)
Xét tứ giác MNPQ có \(\widehat {MQP} = \widehat {NMQ} = \widehat {MNP} = {90^0}\), do đó tứ giác $MNPQ$ là hình chữ nhật.
Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật$MNPQ$ theo \(a,\,b\) .
-
A.
\(QN = a - 2b\).
-
B.
\(QN = a - b\).
-
C.
\(QN = a + b\).
-
D.
\(QN = \dfrac{{a + b}}{2}\).
Đáp án: B
Bước 1: Chứng minh $DQNF$ là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
Bước 2: Tính độ dài đường chéo hình chữ nhật thông qua cạnh $DF$ của hình bình hành $DQNF$ (do$QN = DF$ ).
Gọi $E$ là giao điểm $PQ$ và $AB$ , $F$ là giao điểm của $MN$ và $CD$ . Tam giác $ADE$ có phân giác $AQ$ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại $A$ , suy ra $DQ = QE = DE:2$ .
Tương tự tam giác $BCF$ cân tại$C$ , do đó $FN = BN = BF:2.$
Ta lại có $DEBF$ là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra $DE = BF$ .
Suy ra $DQ = FN$ và $DQ$ //$FN$ . Vậy $DQNF$ là hình bình hành, từ đó $QN = DF = CD--CF$
Mà $CD = AB = a$ , $CF = CB = b$ , do đó: $QN = a-b$ .
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) điểm \(M\) thuộc cạnh huyền \(BC.\) Gọi \(D,E\) lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,AC.\)
Tứ giác \(ADME\) là hình gì?
-
A.
Hình thang
-
B.
Hình chữ nhật
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình vuông
Đáp án: B
Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác có ba góc vuông.
Xét tứ giác \(ADME\) có \(\widehat A = \widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \(ADME\) là hình chữ nhật.
Điểm \(M\) ở vị trí nào trên \(BC\) thì \(DE\) có độ dài nhỏ nhất?
-
A.
\(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\)
-
B.
\(M\) là trung điểm của \(BC.\)
-
C.
\(M\) trùng với \(B\)
-
D.
Đáp án khác
Đáp án: A
Sử dụng tính chất hình chữ nhật và mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên.
Vì \(ADME\) là hình chữ nhật (theo câu trước) nên \(AM = DE\) (tính chất)
Để \(DE\) nhỏ nhất thì \(AM\) nhỏ nhất mà \(AM\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\)
Từ đó \(DE\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\)
Tính độ dài nhỏ nhất của \(DE\) khi \(M\) di chuyển trên BC biết \(AB = 15cm;AC = 20cm.\)
-
A.
\(9\,cm\)
-
B.
\(15\,cm\)
-
C.
\(8\,cm\)
-
D.
\(12\,cm\)
Đáp án: D
Sử dụng kết quả câu trước \(DE\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\)
Từ đó sử dụng hệ định lý Pytago để tính \(DE\).
Theo \(DE\) nhỏ nhất khi \(M\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC.\) Khi đó \(DE = AM.\)
Xét tam giác \(ABC\), theo định lý Pyatgo ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 625 \Rightarrow BC = 25\).
Gọi \(BM = x\) thì \(MC = 25 - x\).
Xét tam giác \(AMB\) vuông tại \(M\), theo định lý Pytago ta có \(A{M^2} = A{B^2} - B{M^2} = {15^2} - {x^2} = 225 - {x^2}\) (1)
Xét tam giác \(AMC\) vuông tại \(M,\) theo định lý Pytago ta có \(A{M^2} = A{C^2} - M{C^2} = {20^2} - {\left( {25 - x} \right)^2}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(225 - {x^2} = {20^2} - {\left( {25 - x} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 225 - {x^2} = 400 - \left( {625 - 50x + {x^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 50x = 450 \Leftrightarrow x = 9\).
Suy ra: \(A{M^2} = 225 - {x^2} = 225 - 81 = 144 \Rightarrow AM = 12\) suy ra \(DE = AM = 12cm\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(DE\) là \(12cm.\)
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = a;\,AD = b\) . Cho $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là các đỉnh của tứ giác $MNPQ$ và lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $BC$ ,$CD,DA$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$ .
-
A.
\({a^2} + {b^2}\).
-
B.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
C.
\(2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
D.
\(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).
Đáp án : C
Bước 1: Gọi thêm các điểm $I,H,K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $QM,QN,PN$ .
Bước 2: Ta tính chu vi tứ giác $MNPQ$ :
\( AI = \dfrac{1}{2}QM, \)\(IH= \dfrac{1}{2}MN,\)\(HK = \dfrac{1}{2}PQ,\)\(KC= \dfrac{1}{2}NP\)\( \Rightarrow AI + IH + HK + KC \)\(= \dfrac{1}{2}(QM + MN + PQ + NP) \)\(= \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}\)
Mà \(AI + IH + HK + KC \ge AC\), từ đó suy ra lời giải bài toán.
Bước 3: Dùng định lý Pytago tính \(AC\) theo $a,\,b$ rồi kết luận.
Gọi $I,H,K$ lần lượt là trung điểm các đoạn $QM,QN,PN$ .
Xét tam giác $AQM$ vuông tại $A$ có $AI$ là đường trung tuyến nên suy ra \(AI = \dfrac{1}{2}QM\).
$IH$ là đường trung bình của tam giác $QMN$ nên \(IH = \dfrac{1}{2}MN\), $IH$ //$MN$ .
Tương tự \(KC = \dfrac{1}{2}NP,HK = \dfrac{1}{2}PQ\), $HK$ //$PQ$ .
Do đó $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} = \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}$
Mặt khác nếu xét các điểm $A,I,H,K,C$ ta có: $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} \ge AC$
Do đó \({P_{MNPQ}} \ge 2AC\) (không đổi)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A,I,H,K,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với
$MN$ //$AC$ //$QP$ , $QM$ //$BD$ //$NP$
hay $MNPQ$ là hình bình hành.
Theo định lý Pytago cho tam giác \(ACB\) vuông tại \(A\) ta có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{D^2}\) \( = {a^2} + {b^2} \Rightarrow AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi $MNPQ$ là $2AC$ \( = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 11: Hình thoi Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 12: Hình vuông Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 5 Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Đối xứng tâm Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Hình bình hành Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Đối xứng trục Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Đường trung bình của tam giác, hình thang Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 2,3: Hình thang Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1: Tứ giác Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
