-
Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức
- Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
- Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
- Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
- Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức
- Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức
- Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
- Bài tập ôn tập chương 1
-
Chương 2: Phân thức đại số
-
Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 5: Tứ giác
-
Chương 6: Đa giác. Diện tích đa giác
-
Chương 7: Tam giác đồng dạng
- Bài 1,2: Định lý Ta-lét. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
- Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
- Bài 4: Hai tam giác đồng dạng
- Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất
- Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai
- Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba
- Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
Trắc nghiệm Bài 1: Phân thức đại số Toán 8
Đề bài
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi
-
A.
\(B \ne 0\)
-
B.
\(B \ge 0\)
-
C.
\(B \le 0\)
-
D.
\(A = 0\)
Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi
-
A.
\(A.B = C.D\)
-
B.
\(A.C = B.D\)
-
C.
\(A.D = B.C\)
-
D.
\(AC < B.D\)
Chọn câu sai. Với đa thức \(B \ne 0\) ta có
-
A.
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức \(0\) )
-
B.
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (với $N$ là một nhân tử chung , \(N\) khác đa thức \(0\) ).
-
C.
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$ .
-
D.
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A + M}}{{B + M}}$ (với \(M\) khác đa thức \(0\) ).
Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có nghĩa
-
A.
\(x \le 2\)
-
B.
\(x \ne 1\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(x \ne 2\)
Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi
-
A.
\(x \ne 2\)
-
B.
\(x \ne 2\) và \(\,x \ne - 2\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(\,x \ne - 2\)
Để phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa thì \(x\) thỏa mãn điều kiện nào?
-
A.
$\;x \ne - 1$ và \(\,x \ne - 3\)
-
B.
\(x = 3\).
-
C.
\(x \ne - 1\) và \(\,x \ne 3\).
-
D.
\(x \ne - 1\)
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}\)có giá trị bằng $1$ khi $x$ bằng:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\( - 1\)
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$có giá trị bằng $0$?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(1\)
Phân thức nào dưới đây bằng với phân thức \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5}\)?
-
A.
\(\dfrac{{14{x^3}{y^4}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
-
B.
$\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{5xy}}$\(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
-
C.
\(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35}}\).
-
D.
\(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
Phân thức \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}}\)( với \(a \ne 0\)) bằng với phân thức nào sau đây?
-
A.
\(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{\rm{a}}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\left( {x \ne - y} \right)\)
-
B.
\(\dfrac{{ - x - y}}{{3a}}\)
-
C.
\(\dfrac{{ - x + y}}{{3a}}\).
-
D.
\(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{{\rm{a}}^2}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\,\,\left( {x \ne - y} \right)\).
Phân thức nào dưới đây không bằng với phân thức \(\dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\).
-
A.
\( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\)
Chọn câu sai.
-
A.
\(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\).
-
B.
\(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = x - 3\)
-
C.
\(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\).
-
D.
\(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = 5\).
Viết phân thức \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}}\) về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.
-
A.
\(\dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)
-
D.
\(\dfrac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\) . \(\left( {x \ne \pm \dfrac{3}{2}} \right)\)
-
A.
\(M = 6{x^2} + 9x\)
-
B.
\(M = - 3x\)
-
C.
\(M = 3x\)
-
D.
\(M = 2x + 3\)
Cho \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\) \(\left( {x \ne - 3;x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}} \right)\) . Khi đó đa thức \(A\) là
-
A.
\(A = {x^2} + 2x - 3\)
-
B.
\(A = {x^2} + 2x + 3\)
-
C.
\(A = {x^2} - 2x - 3\)
-
D.
\(A = {x^2} + 2x\)
Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x+ 6}}\) và \(\dfrac{1}{{x - 3}}\) bằng nhau.
-
A.
\(x = 3\)
-
B.
\(x \ne 3\)
-
C.
\(x \ne 2\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)
Giá trị của $x$ để phân thức \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\) là
-
A.
\(x > \dfrac{5}{2}\)
-
B.
\(x < \dfrac{5}{2}\)
-
C.
\(x < - \dfrac{5}{2}\)
-
D.
\(x > 5\)
Cho \(A = \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}}\) . Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A = 0\) .
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(4\)
Với $x \ne y$, hãy viết phân thức $\dfrac{1}{{x - y}}$ dưới dạng phân thức có tử là ${x^2} - {y^2}$.
-
A.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}$.
-
B.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}$.
-
C.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}$.
-
D.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$.
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức \(C\) biết \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\).
-
A.
\(C = x + 2\)
-
B.
\(C = {x^2} + 2\)
-
C.
\(C = x(x + 2)\)
-
D.
\(C = x(x - 2)\)
Cho \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) và \(2a > b > 0\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).
-
A.
\(\dfrac{1}{9}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(9\)
Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(P = \dfrac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\).
-
A.
\(4\)
-
B.
\(8\)
-
C.
\(16\)
-
D.
\(2\)
Cho \(ad = bc\,\,\left( {cd \ne 0;{c^2} \ne 3{d^2}} \right)\). Khi đó \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}}\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{a{b^2}}}{{c{d^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{ad}}{{bc}}\)
-
C.
\(\dfrac{{ab}}{{cd}}\)
-
D.
\(\dfrac{{cd}}{{ab}}\)
Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
Lời giải và đáp án
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi
-
A.
\(B \ne 0\)
-
B.
\(B \ge 0\)
-
C.
\(B \le 0\)
-
D.
\(A = 0\)
Đáp án : A
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi
-
A.
\(A.B = C.D\)
-
B.
\(A.C = B.D\)
-
C.
\(A.D = B.C\)
-
D.
\(AC < B.D\)
Đáp án : C
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\), ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$ .
Chọn câu sai. Với đa thức \(B \ne 0\) ta có
-
A.
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (với \(M\) khác đa thức \(0\) )
-
B.
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (với $N$ là một nhân tử chung , \(N\) khác đa thức \(0\) ).
-
C.
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$ .
-
D.
$\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A + M}}{{B + M}}$ (với \(M\) khác đa thức \(0\) ).
Đáp án : D
Tính chất cơ bản của phân thức đại số
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ ) nên A đúng.
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ ) nên B đúng.
+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$ nên C đúng.
Đáp án D sai vì \(\dfrac{2}{3} \ne \dfrac{3}{4} = \dfrac{{2 + 1}}{{3 + 1}}\) .
Với điều kiện nào của \(x\) thì phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có nghĩa
-
A.
\(x \le 2\)
-
B.
\(x \ne 1\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(x \ne 2\)
Đáp án : D
Sử dụng: Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Ta có \(\dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\) có nghĩa khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Một số em làm nhầm thành \(x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1\) dẫn đến sai đáp án.
Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi
-
A.
\(x \ne 2\)
-
B.
\(x \ne 2\) và \(\,x \ne - 2\)
-
C.
\(x = 2\)
-
D.
\(\,x \ne - 2\)
Đáp án : B
Sử dụng điều kiện để phân thức có nghĩa ( hay phân thức xác định)
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(\dfrac{{5x - 1}}{{{x^2} - 4}}\) xác định khi \({x^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne \pm 2\) .
Một số em làm nhầm \({x^2} \ne 4 \Leftrightarrow x \ne 2\) dẫn đến thiếu điều kiện của $x$ và sai đáp án.
Để phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa thì \(x\) thỏa mãn điều kiện nào?
-
A.
$\;x \ne - 1$ và \(\,x \ne - 3\)
-
B.
\(x = 3\).
-
C.
\(x \ne - 1\) và \(\,x \ne 3\).
-
D.
\(x \ne - 1\)
Đáp án : C
Sử dụng điều kiện để phân thức có nghĩa ( hay phân thức xác định)
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(\dfrac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\) có nghĩa khi \(\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0\) \( \Leftrightarrow \) \(x + 1 \ne 0\) và \(x - 3 \ne 0\)
Nên $x \ne - 1$ và \(x \ne 3\) .
Một số em làm nhầm dấu khi tìm \(x\) như \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) dẫn đến sai đáp án.
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}}\)có giá trị bằng $1$ khi $x$ bằng:
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\( - 1\)
Đáp án : A
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = 1\) . Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
+ Điều kiện: \(2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\) .
+ Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{{2x}} = 1 \Rightarrow {x^2} + 1 = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)
Vậy \(x = 1\) .
Một số em có thể không đổi dấu khi chuyển \(2x\) sang vế trái. Dẫn đến ra kết quả \(x = - 1\) là sai.
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$có giá trị bằng $0$?
-
A.
\(0\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : B
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức \(\dfrac{A}{B} \) xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = 0\) suy ra $A=0.$ Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
+ Vì \(11 \ne 0\) (luôn đúng) nên phân thức $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}}$ luôn có nghĩa.
+ Ta có $\dfrac{{{x^2} - 9}}{{11}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 9 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - 3\end{array} \right.$
Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn yêu cầu đề bài: \(x = 3;\,x = - 3\) .
Một số em có thể giải sai \({x^2} = 9 \Rightarrow x = 3\) dẫn đến thiếu giá trị \(x = - 3\) và sai đáp án.
Phân thức nào dưới đây bằng với phân thức \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5}\)?
-
A.
\(\dfrac{{14{x^3}{y^4}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
-
B.
$\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{5xy}}$\(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
-
C.
\(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35}}\).
-
D.
\(\dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\) \(\left( {x,y \ne 0} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức:
\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
Với \(\left( {x,y \ne 0} \right)\) ta có \(\dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{5} = \dfrac{{2{x^3}{y^2}.7xy}}{{5.7xy}} = \dfrac{{14{x^4}{y^3}}}{{35xy}}\)
Một số em khi nhân thêm đa thức \(7xy\) thì chỉ nhân thêm với tử số mà không nhân với mẫu nên ra sai kết quả.
Phân thức \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}}\)( với \(a \ne 0\)) bằng với phân thức nào sau đây?
-
A.
\(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{\rm{a}}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\left( {x \ne - y} \right)\)
-
B.
\(\dfrac{{ - x - y}}{{3a}}\)
-
C.
\(\dfrac{{ - x + y}}{{3a}}\).
-
D.
\(\dfrac{{3{\rm{a}}{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{{\rm{a}}^2}\left( {x + y} \right)}}\,;\,\,\,\left( {x \ne - y} \right)\).
Đáp án : D
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$
Ta có \(\dfrac{{x + y}}{{3{\rm{a}}}} = \dfrac{{ - \left( {x + y} \right)}}{{ - 3a}} = \dfrac{{ - x - y}}{{ - 3a}}\) nên B,C sai.
Lại có \(\dfrac{{x + y}}{{3a}} = \dfrac{{\left( {x + y} \right).3a.\left( {x + y} \right)}}{{3a.3a.\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{3a{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{9{a^2}\left( {x + y} \right)}}\) nên A sai, D đúng.
Một số em có thể sai khi nhân \(3a.3a = 9a\) nên dẫn đến chọn thành A đúng, D sai.
Phân thức nào dưới đây không bằng với phân thức \(\dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\).
-
A.
\( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}}\)
Đáp án : B
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
+ $\dfrac{A}{B} = \dfrac{{ - A}}{{ - B}}$
Ta có \( - \dfrac{{x - 3}}{{3 + x}} = - \dfrac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{3 + x}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
*) \(\dfrac{{{x^2} + 6x + 9}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}:\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right):\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \dfrac{{x + 3}}{{3 - x}} \ne \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
*) \(\dfrac{{9 - {x^2}}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right):\left( {3 + x} \right)}}{{{{\left( {3 + x} \right)}^2}:\left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
*) \(\dfrac{{x - 3}}{{ - 3 - x}} = \dfrac{{ - \left( {3 - x} \right)}}{{ - \left( {3 + x} \right)}} = \dfrac{{3 - x}}{{3 + x}}\)
Một số em có thể sai khi đổi dấu tử và mẫu của phân thức dẫn đến sai đáp án.
Chọn câu sai.
-
A.
\(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\).
-
B.
\(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = x - 3\)
-
C.
\(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\).
-
D.
\(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = 5\).
Đáp án : D
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0$ )
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) ($N$ là một nhân tử chung, $N$ khác đa thức $0$ )
Ta có \(\dfrac{{5x + 5}}{{5x}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{5x}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right):5}}{{5x:5}} = \dfrac{{x + 1}}{x}\) nên A đúng, D sai.
*) \(\dfrac{{{x^2} - 9}}{{x + 3}} = \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}} = x - 3\) nên B đúng.
*) \(\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \dfrac{{x + 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right):\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\) nên C đúng.
Một số em có thể sai hằng đẳng thức chẳng hạn \({x^2} - 9 = {\left( {x - 3} \right)^2}\) dẫn đến sai nhân tử chng khi phân tích và sai đáp án.
Viết phân thức \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}}\) về phân thức có tử và mẫu là các đa thức với hệ số nguyên.
-
A.
\(\dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)
-
B.
\(\dfrac{{x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
-
C.
\(\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} - 4}}\)
-
D.
\(\dfrac{{3x - 2}}{{3{x^2} - 4}}\)
Đáp án : A
Nhân cả tử và mẫu với cùng một số để có phân thức thỏa mãn đề bài.
Nhân cả tử và mẫu của phân thức đã cho với số \(3\) ta được:
Ta có: \(\dfrac{{\dfrac{1}{3}x - 2}}{{{x^2} - \dfrac{4}{3}}} = \dfrac{{\left( {\dfrac{1}{3}x - 2} \right).3}}{{\left( {{x^2} - \dfrac{4}{3}} \right).3}} = \dfrac{{x - 6}}{{3{x^2} - 4}}\)
Bài toán này có nhiều cách viết miễn là các em nhân cả tử và mẫu với 1 số khác 0 và chia hết cho 3.
Tuy nhiên tùy thuộc vào các đáp án cho trước để ta chọn được đáp án đúng nhất.
Tìm đa thức \(M\) thỏa mãn \(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\) . \(\left( {x \ne \pm \dfrac{3}{2}} \right)\)
-
A.
\(M = 6{x^2} + 9x\)
-
B.
\(M = - 3x\)
-
C.
\(M = 3x\)
-
D.
\(M = 2x + 3\)
Đáp án : C
Sử dụng điều kiện để hai phân thức bằng nhau:
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\) , ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu$A.D = B.C$ .
Với \(x \ne \pm \dfrac{3}{2}\) ta có
\(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}}\)\( \Rightarrow M\left( {4{x^2} - 9} \right) = \left( {6{x^2} + 9x} \right).\left( {2x - 3} \right)\) \( \Leftrightarrow M\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right) = 3x\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right) \Rightarrow M = 3x\)
Một số em có thể biến đổi vế phải trước rồi sử dụng sử dụng đến điều kiện hai phân thức bằng nhau
\(VP = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}} = \dfrac{{3x\left( {2x + 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}} = \dfrac{{3x\left( {2x + 3} \right):\left( {2x + 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right):\left( {2x + } \right)3}} = \dfrac{{3x}}{{2x - 3}}\)
Từ đó suy ra \(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{6{x^2} + 9x}}{{4{x^2} - 9}} \Leftrightarrow \)\(\dfrac{M}{{2x - 3}} = \dfrac{{3x}}{{2x - 3}} \Rightarrow M = 3x\) .
Cho \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\) \(\left( {x \ne - 3;x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}} \right)\) . Khi đó đa thức \(A\) là
-
A.
\(A = {x^2} + 2x - 3\)
-
B.
\(A = {x^2} + 2x + 3\)
-
C.
\(A = {x^2} - 2x - 3\)
-
D.
\(A = {x^2} + 2x\)
Đáp án : A
Sử dụng điều kiện để hai phân thức bằng nhau:
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\)\(\left( {B \ne 0,\,D \ne 0} \right)\) , ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu$A.D = B.C$ .
Ta có với \(x \ne - 3\) và \(x \ne \dfrac{{ - 7}}{4}\) thì \(\dfrac{{4{x^2} + 3x - 7}}{A} = \dfrac{{4x + 7}}{{x + 3}}\)\( \Rightarrow A.\left( {4x + 7} \right) = \left( {4{x^2} + 3x - 7} \right)\left( {x + 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow A = \dfrac{{\left( {4{x^2} - 4x + 7x - 7} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {4x + 7} \right)}}\) \( = \dfrac{{\left[ {4x\left( {x - 1} \right) + 7\left( {x - 1} \right)} \right]\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}} = \dfrac{{\left( {4x + 7} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{4x + 7}}\)
\( = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {4x + 7} \right):\left( {4x + 7} \right)}}{{\left( {4x + 7} \right):\left( {4x + 7} \right)}} = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) = {x^2} + 2x - 3\)
Vậy \(A = {x^2} + 2x - 3\) .
Một số em có thể sai dấu khi nhân đa thức ở bước cuối dẫn đến sai đáp án.
Với điều kiện nào của $x$ thì hai phân thức \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5x+ 6}}\) và \(\dfrac{1}{{x - 3}}\) bằng nhau.
-
A.
\(x = 3\)
-
B.
\(x \ne 3\)
-
C.
\(x \ne 2\)
-
D.
\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\)
Đáp án : D
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu$A.D = B.C$ . Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 5x + 6 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\) .
Ta có \(\dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 5{\rm{x}} + 6}} = \dfrac{1}{{x - 3}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right):\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 3} \right)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 3}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\) (luôn đúng)
Nên hai phân thức trên bằng nhau khi \(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne 3\end{array} \right.\).
Một số em có thể tìm \(x\) nhầm ở bước cuối \(\dfrac{1}{{x - 3}} = \dfrac{1}{{x - 3}}\)\( \Rightarrow x - 3 = 0 \)\(\Rightarrow x = 3\) và không so sánh điều kiện dẫn đến sai đáp án.
Giá trị của $x$ để phân thức \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\) là
-
A.
\(x > \dfrac{5}{2}\)
-
B.
\(x < \dfrac{5}{2}\)
-
C.
\(x < - \dfrac{5}{2}\)
-
D.
\(x > 5\)
Đáp án : B
Sử dụng kiến thức \(\dfrac{A}{B} < 0 \Leftrightarrow B \ne 0\) và \(A,B\) trái dấu.
Ta có \(\dfrac{{2x - 5}}{3} < 0\)\( \Rightarrow 2x - 5 < 0 \)\(\Leftrightarrow 2x < 5 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}\) (Vì \(3 > 0\) ).
Một số em có thể sai dấu khi tìm \(x\) ở bước cuối \(2x - 5 < 0 \Leftrightarrow 2x < - 5 \Leftrightarrow x < - \dfrac{5}{2}\).
Cho \(A = \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}}\) . Có bao nhiêu giá trị của \(x\) để \(A = 0\) .
-
A.
\(2\)
-
B.
\(3\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : A
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: Từ giả thiết ta có \(\dfrac{A}{B} = m\) . Từ đó tìm được \(x\) .
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
Ta có \({x^4} - 10{x^2} + 9 = {x^4} - {x^2} - 9{x^2} + 9 = {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 9\left( {{x^2} - 1} \right) = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\)
Điều kiện: \({x^4} - 10{x^2} + 9 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ne 1\\{x^2} \ne 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne \pm 3\end{array} \right.\)
Ta có \(A = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4} - 5{x^2} + 4}}{{{x^4} - 10{x^2} + 9}} = 0 \Rightarrow {x^4} - 5{x^2} + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^4} - {x^2} - 4{x^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) - 4\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 4\\{x^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\left( {TM} \right)\\x = - 2\,\left( {TM} \right)\\x = 1\,\,\left( L \right)\\x = - 1\,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn đề bài \(x = 2;\,x = - 2\) .
Một số em có thể quên không so sánh với điều kiện dẫn đến nhận cả bốn giá trị và chọn sai đáp án.
Với $x \ne y$, hãy viết phân thức $\dfrac{1}{{x - y}}$ dưới dạng phân thức có tử là ${x^2} - {y^2}$.
-
A.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right){y^2}}}$.
-
B.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x + y}}$.
-
C.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{x - y}}$.
-
D.
$\dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$.
Đáp án : D
Sử dụng tính chất các cơ bản của phân thức
+\(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) ($M$ là một đa thức khác $0)$
Ta có $\dfrac{1}{{x - y}} = \dfrac{{1.\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - {y^2}}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)}}$
Một số em chỉ nhân thêm tử với ${x^2} - {y^2}$ mà không nhân mẫu với ${x^2} - {y^2}$ dẫn đến sai đáp án.
Dùng tính chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức \(C\) biết \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\).
-
A.
\(C = x + 2\)
-
B.
\(C = {x^2} + 2\)
-
C.
\(C = x(x + 2)\)
-
D.
\(C = x(x - 2)\)
Đáp án : C
+ Sử dụng tính chất: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (\(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức \(0\))
\(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\)
Ta có: \(\dfrac{{{x^2} + x - 6}}{{({x^2} - 2x)(x + 2)}} = \dfrac{{{x^2} + 3x - 2x - 6}}{{x(x - 2)(x + 2)}} \)\(= \dfrac{{x(x + 3) - 2(x + 3)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} \)\(= \dfrac{{(x - 2)(x + 3)}}{{x(x - 2)(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{{x(x + 2)}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{x + 3}}{{x(x + 2)}} = \dfrac{{x + 3}}{C}\)
Vậy \(C = x(x + 2)\).
Cho \(4{a^2} + {b^2} = 5ab\) và \(2a > b > 0\). Tính giá trị biểu thức: \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}}\).
-
A.
\(\dfrac{1}{9}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(9\)
Đáp án : B
Biến đổi giả thiết để có \(a = b\)
Thay vào biểu thức \(M\) để tính giá trị.
Ta có:
\(4{a^2} + {b^2} = 5ab \)
\(4{a^2} - 5ab + {b^2} = 0 \)
\( 4{a^2} - 4ab - ab + {b^2} = 0\)
\( 4a(a - b) - b(a - b) = 0\)
\((a - b)(4a - b) = 0\)
Vì \(2a > b > 0\) nên \( 4a > b\) suy ra \( 4a - b > 0.\)
Do đó \( a - b = 0 \) hay \( a = b.\)
Vậy \(M = \dfrac{{ab}}{{4{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{a.a}}{{4{a^2} - {a^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{3{a^2}}} = \dfrac{1}{3}\).
Tìm giá trị lớn nhất của phân thức \(P = \dfrac{{16}}{{{x^2} - 2x + 5}}\).
-
A.
\(4\)
-
B.
\(8\)
-
C.
\(16\)
-
D.
\(2\)
Đáp án : A
+ Sử dụng \(P = \dfrac{m}{{f\left( x \right)}}\) (với \(m > 0\)) đạt giá trị lớn nhất khi \(f\left( x \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất.
+ Sử dụng \({\left( {x + a} \right)^2} + b \ge b;\forall x\), dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = - a\).
Ta có: \({x^2} - 2x + 5 = {x^2} - 2x + 1 + 4 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\)
Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
Suy ra: \(\dfrac{{16}}{{{x^2} + 2x + 5}} \le \dfrac{{16}}{4} \Leftrightarrow P \le 4\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy với \(x = 1\) thì \(P\) đạt giá trị lớn nhất là \(4.\)
Cho \(ad = bc\,\,\left( {cd \ne 0;{c^2} \ne 3{d^2}} \right)\). Khi đó \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}}\) bằng:
-
A.
\(\dfrac{{a{b^2}}}{{c{d^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{ad}}{{bc}}\)
-
C.
\(\dfrac{{ab}}{{cd}}\)
-
D.
\(\dfrac{{cd}}{{ab}}\)
Đáp án : C
Sử dụng hai phân số bằng nhau \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D} \Leftrightarrow A.D = B.C\)
Ta xét: \(\left( {{a^2} - 3{b^2}} \right)cd = {a^2}cd - 3{b^2}cd = ac.ad - 3bd.bc\) \( = ac.ad - 3bd.ad = ad\left( {ac - 3bd} \right)\) (1) (do \(ad = bc\))
Và \(\left( {{c^2} - 3{d^2}} \right)ab = {c^2}ab - 3{d^2}ab = ac.bc - 3bd.ad\)\( = ac.ad - 3bd.ad = ad\left( {ac - 3bd} \right)\) (2) (do \(ad = bc\))
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left( {{a^2} - 3{b^2}} \right)cd = \left( {{c^2} - 3{d^2}} \right)ab\)
Từ đó ta có: \(\dfrac{{{a^2} - 3{b^2}}}{{{c^2} - 3{d^2}}} = \dfrac{{ab}}{{cd}}\)
Cho \(a > b > 0\). Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > 2\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} > \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\)
Đáp án : D
Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi.
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A.M}}{{B.M}}\) (\(M\) là một đa thức khác \(0\))
+ \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{{A:N}}{{B:N}}\) (\(N\) là một nhân tử chung, \(N\) khác đa thức \(0\))
Do \(a > b > 0\) nên \(a + b > 0;a - b > 0\)
Ta có \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2} - {b^2}}} = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)}}\) \( = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}:\left( {a + b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right):\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a - b}}\)
Nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\dfrac{{a + b}}{{a - b}}\) với \(\left( {a - b} \right)\) ta được:
\(\dfrac{{a + b}}{{a - b}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - b} \right)}} = \dfrac{{{a^2} - {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) \( < \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}\) (do \(0 < {a^2} - {b^2} < {a^2} + {b^2}\))
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 3: Rút gọn phân thức đại số Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4: Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 5,6: Cộng, trừ các phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7,8: Nhân, chia các phân thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Biến đổi các phân thức hữu tỉ Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 2 Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
