Trắc nghiệm Bài 5: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 8

Đề bài

Câu 1 :

Phương trình \(\left| {2x - 5} \right| = 3\) có nghiệm là:

  • A.

    \(x = 4;\,x =  - 1\)

  • B.

    \(x =  - 4;\,x = 1\)       

  • C.

    \(x = 4;\,x = 1\)          

  • D.

    \(x =  - 4;\,x =  - 1\)

Câu 2 :

Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là

  • A.

    \(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)          

  • B.

    \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)             

  • C.

    \(x =  - \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)          

  • D.

    \(x = \dfrac{1}{4};\,x =  - \dfrac{5}{4}\)

Câu 3 :

Tập nghiệm của phương trình \(\left| {5x - 3} \right| = x + 7\) là

  • A.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2}} \right\}\)       

  • B.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2};\dfrac{2}{3}} \right\}\)

  • C.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right\}\)

  • D.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\)

Câu 4 :

Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| + 3x = 7\) là

  • A.

    \(3\)

  • B.

    \(2\)

  • C.

    \(0\)

  • D.

    \(1\)

Câu 5 :

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

  • A.

    \(\left| {x - 1} \right| = 1\)     

  • B.

    \(\left| x \right| =  - 9\)          

  • C.

    \(\left| {x + 3} \right| = 0\)

  • D.

    \(\left| {2x} \right| = 10\)

Câu 6 :

Cho các khẳng định sau:

(1) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) chỉ có một nghiệm là x = 2

(2) $x = 4$ là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)

(3) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = 4$

Các khẳng định đúng  là:

  • A.

    (1);(3)                    

  • B.

    (2);(3)                        

  • C.

    Chỉ (3)                     

  • D.

    Chỉ (2)

Câu 7 :

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\) là

  • A.

    \(\dfrac{1}{7}\)

  • B.

    \(5\)    

  • C.

    \( - \dfrac{1}{7}\)       

  • D.

    \( - 5\)

Câu 8 :

Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x - 1} \right| = x + 4\) là

  • A.

    \(7\)    

  • B.

    \(4\)

  • C.

    \(\dfrac{4}{7}\)

  • D.

    \(\dfrac{7}{4}\)

Câu 9 :

Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left| {2x} \right| = 3 - 3x\) là

  • A.

    \(3\)

  • B.

    \(\dfrac{9}{5}\)

  • C.

    \(\dfrac{3}{5}\)          

  • D.

    \(\dfrac{5}{3}\)

Câu 10 :

Số nghiệm của phương trình \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\) là

  • A.

    \(1\)

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(3\)    

  • D.

    \(4\)

Câu 11 :

Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.

  • A.

    Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)          

  • B.

    Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)          

  • C.

    Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt    

  • D.

    Cả hai phương trình đều vô số nghiệm

Câu 12 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {1 - x} \right| \ge 3\) là

  • A.

    \(x \ge 4,x \le  - 2\)

  • B.

    \( - 2 \le x \le 4\)

  • C.

    \(x \le  - 2,x \le 4\)

  • D.

    \(x \le 4,x \ge  - 2\)

Câu 13 :

Số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \(\left| {x - 6} \right| + 5 \ge x\) là

  • A.

    \(x = 0\)

  • B.

    \(x = 5\)

  • C.

    \(x = 6\)

  • D.

    \(x = 3\)

Câu 14 :

Nghiệm của phương trình \(\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\) là

  • A.

    \(x = 104\)

  • B.

    \(x = 105\)

  • C.

    \(x = 103\)

  • D.

    \(x = 106\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Phương trình \(\left| {2x - 5} \right| = 3\) có nghiệm là:

  • A.

    \(x = 4;\,x =  - 1\)

  • B.

    \(x =  - 4;\,x = 1\)       

  • C.

    \(x = 4;\,x = 1\)          

  • D.

    \(x =  - 4;\,x =  - 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết :

 \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)

TH1: \(\left| {2x - 5} \right| = 2x - 5\) khi \(2x - 5 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 5 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{5}{2}\)

Khi đó \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)$ \Rightarrow 2x - 5 = 3 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4\,\left( {TM} \right)$

TH1: \(\left| {2x - 5} \right| =  - \left( {2x - 5} \right)\) khi \(2x - 5 < 0 \Leftrightarrow 2x < 5 \Leftrightarrow x < \dfrac{5}{2}\)

Khi đó \(\left| {2x - 5} \right| = 3\)$ \Rightarrow  - \left( {2x - 5} \right) = 3 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 4;\,x = 1\) .

Câu 2 :

Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là

  • A.

    \(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)          

  • B.

    \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)             

  • C.

    \(x =  - \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)          

  • D.

    \(x = \dfrac{1}{4};\,x =  - \dfrac{5}{4}\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Sau đó giải phương trình thu được.

Lời giải chi tiết :

TH1: \(\left| {3 - 4x} \right| = 3 - 4x\) khi \(3 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 3 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{4}\)

Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {3 - 4x} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {3 - 4x} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 3 - 4x = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {3 - 4x} \right| =  - \left( {3 - 4x} \right)\) khi \(3 - 4x < 0 \)\(\Leftrightarrow 4x > 3\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}\)

Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {4x - 3} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {4x - 3} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 4x - 3 = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\,\left( {TM} \right)\)

Phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\) .

Câu 3 :

Tập nghiệm của phương trình \(\left| {5x - 3} \right| = x + 7\) là

  • A.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2}} \right\}\)       

  • B.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2};\dfrac{2}{3}} \right\}\)

  • C.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right\}\)

  • D.

    \(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

TH1: \(\left| {5x - 3} \right| = 5x - 3\) nếu \(5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 5x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{5}\)

Phương trình đã cho trở thành \(5x - 3 = x + 7 \)\(\Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {TM} \right)\) .

TH2: \(\left| {5x - 3} \right| =  - \left( {5x - 3} \right)\) nếu \(5x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow 5x < 3 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{3}{5}\)

Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {5x - 3} \right) = x + 7 \)\(\Leftrightarrow  - 6x = 4 \)\(\Leftrightarrow x =  - \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right).\) 

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\) .

Câu 4 :

Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| + 3x = 7\) là

  • A.

    \(3\)

  • B.

    \(2\)

  • C.

    \(0\)

  • D.

    \(1\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 + 3x = 7\)\( \Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 3} \right| =  - \left( {x - 3} \right)\) khi \(x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < 3\)

Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {x - 3} \right) + 3x = 7 \)\(\Leftrightarrow 2x = 4 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).

Câu 5 :

Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

  • A.

    \(\left| {x - 1} \right| = 1\)     

  • B.

    \(\left| x \right| =  - 9\)          

  • C.

    \(\left| {x + 3} \right| = 0\)

  • D.

    \(\left| {2x} \right| = 10\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right.\) để  giải các phương trình.

+ Lưu ý: \(\left| a \right| \ge 0;\,\forall a\) .

Lời giải chi tiết :

* Xét \(\left| {x - 1} \right| = 1\)

TH1: \(\left| {x - 1} \right| = x - 1\) khi \(x \ge 1\) , nên ta có phương trình \(x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 1} \right| = 1 - x\) khi \(x < 1\) , nên ta có phương trình \(1 - x = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(S = \left\{ {0;2} \right\}\)

* Xét \(\left| {x + 3} \right| = 0 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Rightarrow x =  - 3\)  nên \(S = \left\{ { - 3} \right\}\)

* Xét \(\left| {2x} \right| = 10\)

TH1:  \(\left| {2x} \right| = 2x\)  khi \(x \ge 0\) nên ta có phương trình \(2x = 10 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {2x} \right| =  - 2x\) khi \(x < 0\) nên ta có phương trình \( - 2x = 10 \Leftrightarrow x =  - 5\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(S = \left\{ {5; - 5} \right\}\)

* Xét \(\left| x \right| =  - 9\). Thấy rằng \(\left| x \right| \ge 0;\,\forall x\) mà \( - 9 < 0\) nên \(\left| x \right| >  - 9\) với mọi \(x\). Hay phương trình \(\left| x \right| =  - 9\) vô nghiệm.

Câu 6 :

Cho các khẳng định sau:

(1) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) chỉ có một nghiệm là x = 2

(2) $x = 4$ là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)

(3) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = 4$

Các khẳng định đúng  là:

  • A.

    (1);(3)                    

  • B.

    (2);(3)                        

  • C.

    Chỉ (3)                     

  • D.

    Chỉ (2)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)

TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {x - 3} \right| = 3 - x\) khi \(x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3\)

Phương trình đã cho trở thành \(3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm \(x = 2;x = 4\).

Nên \(x = 4\) là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\).

Khẳng định đúng  là (2) và (3).

Câu 7 :

Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\) là

  • A.

    \(\dfrac{1}{7}\)

  • B.

    \(5\)    

  • C.

    \( - \dfrac{1}{7}\)       

  • D.

    \( - 5\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Vận dụng tính chất: \(\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a =  - b\end{array} \right..\)

Ta có: \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) =  - B\left( x \right)\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 3x = 4x - 3\\2 + 3x = 3 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\7x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \dfrac{1}{7}\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{1}{7}\) .

Câu 8 :

Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x - 1} \right| = x + 4\) là

  • A.

    \(7\)    

  • B.

    \(4\)

  • C.

    \(\dfrac{4}{7}\)

  • D.

    \(\dfrac{7}{4}\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

TH1: \(\left| {3x - 1} \right| = 3x - 1\) khi \(3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\)

Phương trình đã cho trở thành \(3x - 1 = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 2x = 5\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {3x - 1} \right| = 1 - 3x\) khi \(3x - 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}\)

Phương trình đã cho trở thành \(1 - 3x = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 4x =  - 3 \)\(\Leftrightarrow x =  - \dfrac{3}{4}\,\left( {TM} \right)\)

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{5}{2}} \right\}\)

Tổng các nghiệm của phương trình là \( - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{4}\) .

Câu 9 :

Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left| {2x} \right| = 3 - 3x\) là

  • A.

    \(3\)

  • B.

    \(\dfrac{9}{5}\)

  • C.

    \(\dfrac{3}{5}\)          

  • D.

    \(\dfrac{5}{3}\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

TH1: \(\left| {2x} \right| = 2x\) khi \(2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

Phương trình đã cho trở thành \(2x = 3 - 3x \Leftrightarrow 5x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}\,\left( {TM} \right)\)

TH2: \(\left| {2x} \right| =  - 2x\) khi \(2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)

Phương trình đã cho trở thành \( - 2x = 3 - 3x \Leftrightarrow x = 3\,\left( {KTM} \right)\)

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 3\) .

Câu 10 :

Số nghiệm của phương trình \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\) là

  • A.

    \(1\)

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(3\)    

  • D.

    \(4\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

- Căn cứ vào bảng xét từng khoảng giải bài toán (đối chiếu với điều kiện tương ứng).

Lời giải chi tiết :

Ta có \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\)         

Xét: \(\begin{array}{l} + )\;\;1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\\ + )\;\;2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)      

Ta có bảng xét dấu đa thức $1 - x$ và $2x - 1$ dưới đây

Từ bảng xét dấu ta có:

TH1: \(x < \dfrac{1}{2}\) khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(1 - x - \left( {1 - 2x} \right) = x - 2 \Leftrightarrow 1 - x - 1 + 2x = x - 2 \Leftrightarrow x = x - 2\)

\( \Leftrightarrow 0 =  - 2\) (vô lý)

TH2: \(\dfrac{1}{2} \le x \le 1\), khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(1 - x - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow  - 3x + 2 = x - 2 \Leftrightarrow  - 4x =  - 4 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)\)

TH3: \(x > 1\) , khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = x - 1\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(x - 1 - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow  - x = x - 2 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {L} \right)\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1\) .

Câu 11 :

Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.

  • A.

    Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)          

  • B.

    Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)          

  • C.

    Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt    

  • D.

    Cả hai phương trình đều vô số nghiệm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Để giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ta thực hiện các bước sau:

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Để giải phương trình \(\left( 2 \right)\), ta chuyển vế biến đổi phương trình về dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) =  - B\left( x \right)\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết :

* Xét phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\)

TH1: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) khi \(x \ge \dfrac{1}{2}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)

TH2:  \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\) khi \(x < \dfrac{1}{2}\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \)\( \Leftrightarrow x =  - 1\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x =  - 1;\,x = 2\).

Xét phương trình

\(\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 =  - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x =  - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm là \(x = \dfrac{5}{2};x =  - \dfrac{7}{{12}}.\)

Câu 12 :

Tập nghiệm của bất phương trình \(\left| {1 - x} \right| \ge 3\) là

  • A.

    \(x \ge 4,x \le  - 2\)

  • B.

    \( - 2 \le x \le 4\)

  • C.

    \(x \le  - 2,x \le 4\)

  • D.

    \(x \le 4,x \ge  - 2\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Kết hợp với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

TH1: \(\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) với \(1 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1\)

Bất phương trình đã cho trở thành \(1 - x \ge 3 \Leftrightarrow x \le  - 2\), kết hợp điều kiện \(x \le 1\) ta có \(x \le  - 2\).

TH2: \(\left| {1 - x} \right| = x - 1\) với \(1 - x < 0 \Leftrightarrow x > 1\)

Bất phương trình đã cho trở thành \(x - 1 \ge 3 \Leftrightarrow x \ge 4\), kết hợp điều kiện \(x > 1\) ta có \(x \ge 4\).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(x \ge 4,x \le  - 2\)

Câu 13 :

Số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn bất phương trình \(\left| {x - 6} \right| + 5 \ge x\) là

  • A.

    \(x = 0\)

  • B.

    \(x = 5\)

  • C.

    \(x = 6\)

  • D.

    \(x = 3\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)

+ Giải các bất phương trình bậc nhất một ẩn

+ Kết hợp với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

TH1: \(\left| {x - 6} \right| = x - 6\) với \(x - 6 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 6\)

Bất phương trình đã cho trở thành \(x - 6 + 5 \ge x \Leftrightarrow  - 1 \ge 0\) (vô lý)

TH2: \(\left| {x - 6} \right| = 6 - x\) với \(x - 6 < 0 \Leftrightarrow x < 6\).

Bất phương trình đã cho trở thành \(6 - x + 5 \ge x \)\(\Leftrightarrow  - 2x \ge  - 11 \)\(\Leftrightarrow x \le \dfrac{{11}}{2}\), kết hợp điều kiện \(x < 6\) ta có \(x \le  \dfrac{{11}}{2}\).

Bất phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{{11}}{2}} \right\}\).

Nghiệm nguyên dương lớn nhất thỏa mãn là \(x = 5\).

Câu 14 :

Nghiệm của phương trình \(\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\) là

  • A.

    \(x = 104\)

  • B.

    \(x = 105\)

  • C.

    \(x = 103\)

  • D.

    \(x = 106\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với \(\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\)\( \Rightarrow x \ge 0\)

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được phương trình: \(x + \dfrac{1}{{209}} + x + \dfrac{2}{{209}} + ..... + x + \dfrac{{208}}{{209}} = 209x.\)

Lời giải chi tiết :

Điều kiện \(209x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)

$\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{{209}} + x + \dfrac{2}{{209}} + x + \dfrac{3}{{209}} + ... + x + \dfrac{{100}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \left( {\dfrac{1}{{209}} + \dfrac{2}{{209}} + \dfrac{3}{{209}} + ... + \dfrac{{208}}{{209}}} \right) = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \dfrac{{104.209}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + 104 = 209x\\ \Leftrightarrow x = 104\;\;(TM)$

Vậy \(x = 104.\)