Trắc nghiệm Bài 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu Toán 8

Đề bài

Câu 1 :

Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}}\) là

  • A.

    \(x \ne 3\)       

  • B.

    \(x \ne 2\)

  • C.

    \(x \ne  - 3\)    

  • D.

    \(x \ne  - 2\)

Câu 2 :

Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{x}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = 0\) là

  • A.

    \(x \ne  - 1;x \ne  - 2\)

  • B.

    \(x \ne 0\)

  • C.

    \(x \ne 2\) và \(x \ne  \pm 1\).            

  • D.

    \(x \ne  - 2;x \ne 1\)

Câu 3 :

Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

  • A.

    \(x =  - 3\)                  

  • B.

    \(x =  - 2\)                  

  • C.

    Vô nghiệm                      

  • D.

    Vô số nghiệm

Câu 4 :

Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:

a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\).

b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).

c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).

  • A.

    \(1\)    

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(0\)    

  • D.

     \(3\)

Câu 5 :

Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\) là

  • A.

    \(3\)    

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(0\)    

  • D.

    \(1\)

Câu 6 :

Phương trình \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\) có  số nghiệm là

  • A.

    \(1\)    

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(0\)    

  • D.

    \(3\)

Câu 7 :

Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau:

Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$

Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

\(\dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Bước 3: Suy ra

\(x - 2 - 7x + 7 =  - 1 \\- 6x =  - 6 \\x = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).

Chọn câu đúng.

  • A.

    Bạn Long giải sai từ bước \(1\)

  • B.

    Bạn Long giải sai từ bước \(2\)

  • C.

    Bạn Long giải sai từ bước \(3\)

  • D.

     Bạn Long giải đúng.

Câu 8 :

Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$  sao cho \(A = B\) .

  • A.

    \(x = 0\)

  • B.

    \(x = 1\)

  • C.

    \(x =  - 1\)

  • D.

    Cả AB.

Câu 9 :

Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.

  • A.

    Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.

  • B.

    Hai phương trình có cùng số nghiệm

  • C.

    Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\)

  • D.

    Hai phương trình tương đương

Câu 10 :

Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.

  • A.

    \({x_0} > 0\)

  • B.

    \({x_0} <  - 5\)

  • C.

    \({x_0} =  - 10\)

  • D.

    \({x_0} > 5\)

Câu 11 :

Số nghiệm của phương trình $\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 3}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x - 3}}$ là

  • A.

    \(2\)    

  • B.

    \(1\)    

  • C.

    \(4\)    

  • D.

    \(3\)

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{1}{{x - 2}} + 3 = \dfrac{{3 - x}}{{x - 2}}\) là

  • A.

    \(x \ne 3\)       

  • B.

    \(x \ne 2\)

  • C.

    \(x \ne  - 3\)    

  • D.

    \(x \ne  - 2\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm các điều kiện để tất cả các mẫu thức trong phương trình khác $0$.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(x - 2 \ne 0 \) hay \(x \ne 2\).

Câu 2 :

Hãy chọn câu đúng. Điều kiện xác định của phương trình \(\dfrac{x}{{x - 2}} - \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}} = 0\) là

  • A.

    \(x \ne  - 1;x \ne  - 2\)

  • B.

    \(x \ne 0\)

  • C.

    \(x \ne 2\) và \(x \ne  \pm 1\).            

  • D.

    \(x \ne  - 2;x \ne 1\)

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm các điều kiện để tất cả các mẫu thức trong phương trình khác $0$.

Lời giải chi tiết :

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\{x^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\{x^2} \ne 1\end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne  \pm 1\end{array} \right.\)

Câu 3 :

Phương trình \(\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\) có nghiệm là

  • A.

    \(x =  - 3\)                  

  • B.

    \(x =  - 2\)                  

  • C.

    Vô nghiệm                      

  • D.

    Vô số nghiệm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được .

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 3\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{6x}}{{9 - {x^2}}} = \dfrac{x}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{3 - x}}\\\dfrac{{6x}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}} = \dfrac{{x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {3 - x} \right)}}\\ \Rightarrow 6x = x\left( {3 - x} \right) - 3\left( {x + 3} \right)\\6x = 3x - {x^2} - 3x - 9\\{x^2} + 6x + 9 = 0\\{\left( {x + 3} \right)^2} = 0\\x + 3 = 0\\x =  - 3\,\,\,\,\left( {ktm} \right).\end{array}\)

Ta thấy \(x =  - 3\) không thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình vô nghiệm.

Câu 4 :

Trong các khẳng định sau, số khẳng định đúng là:

a) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ {0; - 3} \right\}\).

b) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).

c) Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{1}{{7 - x}} + 8\) là \(\left\{ 0 \right\}\).

  • A.

    \(1\)    

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(0\)    

  • D.

     \(3\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Phương trình \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} = 0 \) suy ra \( A\left( x \right) = 0\)

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

* Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\)

ĐK: \(x \ne 0\)

Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\)

Suy ra \( {x^2} + 3x = 0 \)

\(x\left( {x + 3} \right) = 0 \)

Suy ra \(x = 0\,\left( {KTM} \right)\) hoặc \(x + 3 = 0\)

Suy ra \(x =  - 3\,\left( {TM} \right)\)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} + 3x}}{x} = 0\) là \(\left\{ { - 3} \right\}\).

* Xét phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\)

ĐK: \(x \ne 2\)

Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\)

Suy ra \({x^2} - 4 = 0 \) hay \({x^2} = 4\) suy ra \(x = 2\left( {KTM} \right)\) hoặc \(x =  - 2\left( {TM} \right)\)

Tập nghiệm của phương trình \(\dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = 0\) là \(\left\{ { - 2} \right\}\).

*  Xét phương trình $\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + 8$

ĐKXĐ: $x \ne 7$

 $\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + 8$

\(\dfrac{{x - 8}}{{x - 7}} = \dfrac{{ - 1}}{{x - 7}} + \dfrac{{8\left( {x - 7} \right)}}{{x - 7}}\)

Suy ra $ x - 8 =  - 1 + 8.\left( {x - 7} \right)$

$ x - 8 =  - 1 + 8x - 56$

$ x - 8x =  - 1 - 56 + 8$

$  - 7x =  - 49 $

$x = 7$ (không thỏa mãn ĐKXĐ ).

Vậy $S = \emptyset $

Do đó có \(1\) khẳng định b đúng.

Câu 5 :

Số nghiệm của phương trình \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\) là

  • A.

    \(3\)    

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(0\)    

  • D.

    \(1\)

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được .

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.      

Lời giải chi tiết :

 ĐKXĐ: \(x \ne 1;\,\,x \ne 3\)

Khi đó \(\dfrac{{x - 5}}{{x - 1}} + \dfrac{2}{{x - 3}} = 1\)\( \dfrac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} \left( {x - 5} \right)\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)\\ {x^2} - 8x + 15 + 2x - 2 = {x^2} - 4x + 3\\  - 8x + 2x + 4x = 3 - 15 + 2\\  - 2x =  - 10\end{array}\)

\( x = 5\) (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy \(S = \left\{ 5 \right\}\) .

Hay có 1 giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Câu 6 :

Phương trình \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\) có  số nghiệm là

  • A.

    \(1\)    

  • B.

    \(2\)    

  • C.

    \(0\)    

  • D.

    \(3\)

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được .

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.      

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: \(x \ne 1;\,x \ne 2\)

Ta có \(\dfrac{{3x - 5}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 5}}{{x - 2}} = 1\)

\( \dfrac{{\left( {3x - 5} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{\left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

\( \left( {3x - 5} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {2x - 5} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\)

\( 3{x^2} - 11x + 10 - 2{x^2} + 7x - 5 = {x^2} - 3x + 2\)

\(  - x =  - 3 x = 3 \,\left( {TM} \right)\)

Vậy phương trình có một nghiệm \(x =3\) .

Câu 7 :

Cho phương trình $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$ . Bạn Long giải phương trình như sau:

Bước 1: ĐKXĐ $x \ne 1;\,x \ne 2$

Bước 2: $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

\(\dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ -1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Bước 3: Suy ra

\(x - 2 - 7x + 7 =  - 1 \\- 6x =  - 6 \\x = 1\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 1 \right\}\).

Chọn câu đúng.

  • A.

    Bạn Long giải sai từ bước \(1\)

  • B.

    Bạn Long giải sai từ bước \(2\)

  • C.

    Bạn Long giải sai từ bước \(3\)

  • D.

     Bạn Long giải đúng.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $x \ne 1;\,x \ne 2$

Ta có $\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{7}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2 - x} \right)}}$

\(\dfrac{{x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \dfrac{{7\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{ - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Suy ra 

\( x - 2 - 7x + 7 =  - 1 \\- 6x =  - 6 \\ x = 1\)(không thỏa mãn ĐK)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Bạn Long sai ở bước $3$  do không đối chiếu với điều kiện ban đầu.

Câu 8 :

Cho hai biểu thức : \(A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}\) và \(B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) . Tìm $x$  sao cho \(A = B\) .

  • A.

    \(x = 0\)

  • B.

    \(x = 1\)

  • C.

    \(x =  - 1\)

  • D.

    Cả AB.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho \(A = B\) rồi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo các bước:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được .

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Để \(A = B\) thì \(1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\) .
ĐKXĐ: \(x \ne - 2\)
\(1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\,\,\\1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\\dfrac{{{x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\{x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\\{x^3} + {x^2} - 2x = 0 \\x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\\x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0 \\x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 0\) hoặc \(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 2 = 0\)
hay \(x = 0\,\,\,\,(tm)\) hoặc \(x = 1\,\,\,\,(tm)\) hoặc \(x = - 2\,\,\,\,(ktm)\)
Vậy để \(A = B\) thì \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Câu 9 :

Cho phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\) và phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng.

  • A.

    Hai phương trình có cùng điều kiện xác định.

  • B.

    Hai phương trình có cùng số nghiệm

  • C.

    Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\)

  • D.

    Hai phương trình tương đương

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải từng phương trình theo các bước sau và kết luận.

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

*Xét phương trình \(\left( 1 \right)\): \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0\)

ĐKXĐ: \(x \ne 0;x \ne 2\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x - 2}} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1\left( {x - 2} \right) + 2x}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Rightarrow 1\left( {x - 2} \right) + 2x = 0 \Leftrightarrow x - 2 + 2x = 0\\ \Leftrightarrow 3x = 2 \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = \dfrac{2}{3}\).

* Xét phương trình \(\left( 2 \right)\): \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\)

ĐKXĐ: \(x \ne  \pm 2\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} = \dfrac{{5x - 2}}{{4 - {x^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{x + 2}} - \dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{{5x - 2}}{{{x^2} - 4}} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - x\left( {x + 2} \right) + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 2x + 5x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 0x = 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}.\end{array}\)

Kết hợp ĐKXĐ ta có phương trình nghiệm đúng với mọi \(x \ne  \pm 2\).

Do đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 1 \right)\).

Câu 10 :

Biết \({x_0}\) là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

\(\dfrac{1}{{{x^2} + 4x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 8x + 15}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 12x + 35}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 16x + 63}} = \dfrac{1}{5}.\) Chọn khẳng định đúng.

  • A.

    \({x_0} > 0\)

  • B.

    \({x_0} <  - 5\)

  • C.

    \({x_0} =  - 10\)

  • D.

    \({x_0} > 5\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Phân tích mẫu thức thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp tách hạng tử để giải

\(\dfrac{1}{{\left( {x + a} \right)\left( {x + b} \right)}} = \dfrac{1}{{b - a}}\left( {\dfrac{1}{{x + a}} - \dfrac{1}{{x + b}}} \right),a \ne b\) .

Sau đó, làm theo các bước giải phương trình chứa  ẩn ở mẫu:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Phân tích các mẫu thành nhân tử sau đó nhân cả 2 vế của phương trình với 2 ta được:

\(\dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{1}{5} \)

\(\dfrac{2}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)}} + \dfrac{2}{{\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{2}{5}\)

ĐKXĐ: $x \ne  - 1; - 3; - 5; - 7; - 9$ .

Khi đó:

\( \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 3}} + \dfrac{1}{{x + 3}} - \dfrac{1}{{x + 5}} + \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{1}{{x + 7}} + \dfrac{1}{{x + 7}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \\\dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 9}} = \dfrac{2}{5} \\\dfrac{{1\left( {x + 9} \right) - 1\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)}} \\5\left[ {x + 9 - \left( {x + 1} \right)} \right] = 2\left( {x + 1} \right)\left( {x + 9} \right)\\5\left( {x + 9 - x - 1} \right) = 2{x^2} + 20x + 18\\2{x^2} + 20x - 22 = 0\\{x^2} + 10x - 11 = 0\\{x^2} - x + 11x - 11 = 0 \\\left( {x - 1} \right)\left( {x + 11} \right) = 0\)

Suy ra \(x - 1 = 0\) hoặc \(x + 11 = 0\)

hay \(x = 1\left( {TM} \right)\) hoặc \(x =  - 11 \left( {TM} \right)\)

Vậy \({x_0} =  - 11 <  - 5\) .

Câu 11 :

Số nghiệm của phương trình $\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 3}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x - 3}}$ là

  • A.

    \(2\)    

  • B.

    \(1\)    

  • C.

    \(4\)    

  • D.

    \(3\)

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được.

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Ta có  $\dfrac{{{x^2} + 3x + 2}}{{x + 3}} - \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{4x + 4}}{{{x^2} + 2x - 3}}$

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 2x + x + 2}}{{x + 3}} - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - x + 3x - 3}}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 3}} - \dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{x - 1}} = \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

ĐK: \(x \ne \left\{ {1; - 3} \right\}\)

Khi đó \(pt \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\)\( \Rightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x + 3} \right) - 4\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right) - 4} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 2 - {x^2} - 4x - 3 - 4} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( { - 3x - 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\ - 3x - 9 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\left( {TM} \right)\\x =  - 3\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x =  - 1\).