-
Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm
-
Chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức
- Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức
- Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ
- Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)
- Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung
- Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức
- Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử
- Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức
- Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp
- Bài tập ôn tập chương 1
-
Chương 2: Phân thức đại số
-
Chương 3: Phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn
-
Chương 5: Tứ giác
-
Chương 6: Đa giác. Diện tích đa giác
-
Chương 7: Tam giác đồng dạng
- Bài 1,2: Định lý Ta-lét. Định lý đảo và hệ quả của định lý Ta-lét
- Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác
- Bài 4: Hai tam giác đồng dạng
- Bài 5: Trường hợp đồng dạng thứ nhất
- Bài 6: Trường hợp đồng dạng thứ hai
- Bài 7: Trường hợp đồng dạng thứ ba
- Bài 8: Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông
- Bài tập ôn tập chương 7
-
Chương 8: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều
Trắc nghiệm Bài 3: Những hằng đẳng thức đáng nhớ Toán 8
Đề bài
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
-
B.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + AB + {B^2}$
-
C.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + {B^2}$
-
D.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$
Chọn câu sai.
-
A.
${\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$.
-
B.
${x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$.
-
C.
${\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)y + {y^2}$.
-
D.
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {y^2} - {x^2}$.
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
-
A.
$\left( {4x - 5y} \right)\left( {4x + 5y} \right)$
-
B.
$\left( {4x - 25y} \right)\left( {4x + 25y} \right)$
-
C.
$\left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)$
-
D.
${\left( {2x - 5y} \right)^2}$
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
-
A.
$9{x^2} - 24xy + 16{y^2}$
-
B.
$9{x^2} - 12xy + 16{y^2}$
-
C.
$9{x^2} - 24xy + 4{y^2}$
-
D.
$9{x^2} - 6xy + 16{y^2}$
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
-
A.
${\left( {\dfrac{1}{4}xy + 1} \right)^2}$
-
B.
${\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}$
-
C.
${\left( {xy - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
-
D.
${\left( {\dfrac{1}{2}xy - 1} \right)^2}$
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a + b} \right)$.
-
B.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$.
-
C.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$.
-
D.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$.
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
-
A.
$ - 15x + 1$
-
B.
$1$
-
C.
$15x + 1$
-
D.
$ - 1$
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$19$
-
D.
$ - 19$
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
-
A.
\(D = 14C + 1\)
-
B.
\(D = 14C\)
-
C.
\(D = 14C - 1\)
-
D.
\(D = 14C - 2\)
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
-
A.
$x = - 9$
-
B.
$x = 9$
-
C.
$x = 1$
-
D.
$x = - 6$
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
-
A.
$A = B$
-
B.
$A < B$
-
C.
$A > B$
-
D.
$A \ge B$
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
-
A.
$M > N$
-
B.
$M < N$
-
C.
$M = N$
-
D.
$M = N - 1$
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
-
A.
$P \le - 1$
-
B.
$P > - 1$
-
C.
$P > 0$
-
D.
$P \le - 2$
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
-
A.
$8$
-
B.
$11$
-
C.
$ - 4$
-
D.
$24$
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
-
A.
$x = 9$
-
B.
$x = 10$
-
C.
$x = 11$
-
D.
$x = 12$
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
-
A.
$6$
-
B.
$1$
-
C.
$ - 7$
-
D.
$7$
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
-
A.
$4$
-
B.
$5$
-
C.
$3$
-
D.
$2$
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + bc + ac + 2ab\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + bc\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
A.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 8\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(A = 18{x^2} - 4\) và \(A = \dfrac{1}{2}\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(A = 36{x^2} - 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\)
Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
-
A.
\(10\)
-
B.
\(30\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(100\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = - b = - c\)
-
B.
\(a = b = \dfrac{c}{2}\)
-
C.
\(a = 2b = 3c\)
-
D.
\(a = b = c\)
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
-
A.
\(106\) cây
-
B.
\(11025\) cây
-
C.
\(11236\) cây
-
D.
\(105\) cây
Lời giải và đáp án
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
-
B.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + AB + {B^2}$
-
C.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + {B^2}$
-
D.
${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$
Đáp án : A
Ta có ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$
Chọn câu sai.
-
A.
${\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$.
-
B.
${x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$.
-
C.
${\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)y + {y^2}$.
-
D.
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {y^2} - {x^2}$.
Đáp án : D
Sử dụng các công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai.
Khai triển \(4{x^2} - 25{y^2}\) theo hằng đẳng thức ta được
-
A.
$\left( {4x - 5y} \right)\left( {4x + 5y} \right)$
-
B.
$\left( {4x - 25y} \right)\left( {4x + 25y} \right)$
-
C.
$\left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)$
-
D.
${\left( {2x - 5y} \right)^2}$
Đáp án : C
Ta có \(4{x^2} - 25{y^2} = {\left( {2x} \right)^2} - {\left( {5y} \right)^2} = \left( {2x - 5y} \right)\left( {2x + 5y} \right)\)
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
-
A.
$9{x^2} - 24xy + 16{y^2}$
-
B.
$9{x^2} - 12xy + 16{y^2}$
-
C.
$9{x^2} - 24xy + 4{y^2}$
-
D.
$9{x^2} - 6xy + 16{y^2}$
Đáp án : A
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Ta có \({\left( {3x - 4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= 9{x^2} - 24xy + 16{y^2}\)
Biểu thức \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1\) bằng
-
A.
${\left( {\dfrac{1}{4}xy + 1} \right)^2}$
-
B.
${\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}$
-
C.
${\left( {xy - \dfrac{1}{2}} \right)^2}$
-
D.
${\left( {\dfrac{1}{2}xy - 1} \right)^2}$
Đáp án : B
Sử dụng công thức bình phương của một tổng \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Ta có \(\dfrac{1}{4}{x^2}{y^2} + xy + 1 = {\left( {\dfrac{1}{2}xy} \right)^2} + 2.\dfrac{1}{2}xy + {1^2} = {\left( {\dfrac{1}{2}xy + 1} \right)^2}\)
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a + b} \right)$.
-
B.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$.
-
C.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$.
-
D.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$.
Đáp án : C
Sử dụng công thức hiệu hai bình phương \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$
Nên C đúng.
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
-
A.
$ - 15x + 1$
-
B.
$1$
-
C.
$15x + 1$
-
D.
$ - 1$
Đáp án : A
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \)
\(= - 15x + 1\)
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$19$
-
D.
$ - 19$
Đáp án : D
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - \left( {{a^2} - 8a + 16} \right) - \left( {{a^2} + 7a} \right)\)
\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - {a^2} + 8a - 16 - {a^2} - 7a\) \( = - 19\)
Cho $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$ và \(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\) . Tìm mối quan hệ giữa \(C\) và \(D\)
-
A.
\(D = 14C + 1\)
-
B.
\(D = 14C\)
-
C.
\(D = 14C - 1\)
-
D.
\(D = 14C - 2\)
Đáp án : A
Sử dụng các công thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) rồi rút gọn.
Ta có $C = \dfrac{{{{\left( {x + 5} \right)}^2} + {{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{{x^2} + 25}}$\( = \dfrac{{{x^2} + 2.x.5 + {5^2} + {x^2} - 2.x.5 + {5^2}}}{{{x^2} + 25}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 10x + 25}}{{{x^2} + 25}}\)
\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + 25} \right)}}{{{x^2} + 25}} = 2\)
\(D = \dfrac{{{{\left( {2x + 5} \right)}^2} + {{\left( {5x - 2} \right)}^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{4{x^2} + 2.2x.5 + {5^2} + 25{x^2} - 2.5x.2 + {2^2}}}{{{x^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{29{x^2} + 29}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{29\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = 29\)
Vậy $D=29;C=2$ suy ra \(D = 14C + 1\) (do $29=14.2+1$).
Có bao nhiêu giá trị \(x\) thỏa mãn \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$2$
-
D.
$3$
Đáp án : C
Sử dụng công thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp
Ta có \({\left( {2x - 1} \right)^2} - {\left( {5x - 5} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {2x - 1 + 5x - 5} \right)\left( {2x - 1 - 5x + 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {7x - 6} \right)\left( {4 - 3x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x - 6 = 0\\4 - 3x = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{7}\\x = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn yêu cầu.
Tìm \(x\) biết $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$.
-
A.
$x = - 9$
-
B.
$x = 9$
-
C.
$x = 1$
-
D.
$x = - 6$
Đáp án : A
Sử dụng công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) , \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) để đưa về dạng tìm \(x\) đã biết.
Ta có $\left( {x - 6} \right)\left( {x + 6} \right) - {\left( {x + 3} \right)^2} = 9$
\({x^2} - 36 - \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 9 \)
\({x^2} - 36 - {x^2} - 6x - 9 - 9 = 0\)
\(- 6x - 54 = 0\)
\(6x = - 54 \)
\( x = - 9.\)
Vậy \(x = - 9.\)
So sánh \(A = 2016.2018.a\) và \(B = {2017^2}.a\) (với $a > 0$)
-
A.
$A = B$
-
B.
$A < B$
-
C.
$A > B$
-
D.
$A \ge B$
Đáp án : B
Biến đổi \(A\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\)
Sau đó so sánh \(A\) và \(B\) .
Ta có \(A = 2016.2018.a\)\( = \left( {2017 - 1} \right)\left( {2017 + 1} \right)a = \left( {{{2017}^2} - 1} \right)a\)
Vì \({2017^2} - 1 < {2017^2}\) và \(a > 0\) nên \(\left( {{{2017}^2} - 1} \right)a < {2017^2}a\) hay $A < B$ .
So sánh \(M = {2^{32}}\) và \(N = \left( {2 + 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
-
A.
$M > N$
-
B.
$M < N$
-
C.
$M = N$
-
D.
$M = N - 1$
Đáp án : A
Biến đổi \(N\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\)
Sau đó so sánh \(M\) và \(N\) .
Ta có \(N = \left( {2 + 1} \right)\)\(\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = 3\left( {{2^2} + 1} \right)\)\(\left( {{2^4} + 1} \right)\)\(\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
\( = \left[ {\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)} \right]\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\)\(\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)\( = \left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\)
\( = \left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {\left( {{2^{16}}} \right)^2} - 1 = {2^{32}} - 1\) mà \({2^{32}} - 1 < {2^{32}} \Rightarrow N < M\)
Cho \(P = - 4{x^2} + 4x - 2\). Chọn khẳng định đúng.
-
A.
$P \le - 1$
-
B.
$P > - 1$
-
C.
$P > 0$
-
D.
$P \le - 2$
Đáp án : A
Biến đổi \(P\) về dạng \(m - {\left( {A - B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\)
Ta có \(P = - 4{x^2} + 4x - 2 \)\(= - 4{x^2} + 4x - 1 - 1 \)\(= - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) - 1\)\( = - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2}\)
Nhận thấy \( - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 0\)\( \Rightarrow - 1 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le - 1,\,\forall x\) hay \(P \le - 1.\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)
-
A.
$8$
-
B.
$11$
-
C.
$ - 4$
-
D.
$24$
Đáp án : D
Biến đổi \(Q\) về dạng \(m - {\left( {A + B} \right)^2}\) rồi đánh giá \(m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\)
Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(m\) khi \(A = - B\)
Ta có \(Q = 8 - 8x - {x^2}\)\( = - {x^2} - 8x - 16 + 16 + 8 \)\(= - {\left( {x + 4} \right)^2} + 24 \) \(= 24 - {\left( {x + 4} \right)^2}\)
Nhận thấy \({\left( {x + 4} \right)^2} \ge 0;\,\forall x \)\(\Rightarrow 24 - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 24.\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x = - 4\)
Giá trị lớn nhất của \(Q\) là \(24\) khi \(x = - 4.\)
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
-
A.
$x = 9$
-
B.
$x = 10$
-
C.
$x = 11$
-
D.
$x = 12$
Đáp án : B
Biến đổi \(E\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\)
Giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(m\) khi \(A = B\)
Ta có \(E = {x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2.x.10 + 100 + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1\)
Vì \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + 1 \ge 1.\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 10} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = 10\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(1\) khi \(x = 10.\)
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
-
A.
$6$
-
B.
$1$
-
C.
$ - 7$
-
D.
$7$
Đáp án : C
Biến đổi \(K\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m \ge m.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) và \(C = D.\)
Giá trị nhỏ nhất của \(K\) là \(m\) khi \(A = B\) và \(C = D.\)
Ta có \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\)\( = {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7\)\( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7\)
Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \( - 7\) khi \(x = 3;y = 2\) .
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(I = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\) là
-
A.
$4$
-
B.
$5$
-
C.
$3$
-
D.
$2$
Đáp án : B
Biến đổi \(I\) về dạng \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A + B} \right)^2} + {\left( {C + D} \right)^2} + m \ge m.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(A = - B\) và \(C = - D\).
Giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(m\) khi \(A = - B\) và \(C = - D.\)
Ta có \(C = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 6} \right) + 3\)\( = \left( {{x^2} + 4x + 5} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5 + 1} \right) + 3\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 5} \right) + 3\)
\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 4\)\( = {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)
Ta có \({x^2} + 4x + 5 = {x^2} + 4x + 4 + 1 \)\(= {\left( {x + 2} \right)^2} + 1 \ge 1;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} \ge 1;\,\forall x\)
Và \({\left( {x + 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\) nên \({\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4\)\( \ge 1 + 4\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 4x + 5} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} + 4 \ge 5\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x + 5 = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = - 2\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(I\) là \(5\) khi \(x = - 2.\)
Biểu thức \({\left( {a + b + c} \right)^2}\) bằng
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + bc + ac + 2ab\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + ab + ac + bc\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
Đáp án : A
Sử dụng hẳng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^2}\)\( = {\left( {a + b} \right)^2} + 2\left( {a + b} \right).c + {c^2}\)
\( = {a^2} + 2ab + {b^2} + 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\) .
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
A.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 8\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(A = 18{x^2} - 4\) và \(A = \dfrac{1}{2}\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(A = 36{x^2} - 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : D
Sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để rút gọn A
Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào biểu thức đã rút gọn để tính toán
Ta có \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\)
\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12\)
\( = 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12\)
\( = 36{x^2} - 4\)
Vậy \(A = 36{x^2} - 4\)
Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào \(A = 36{x^2} - 4\) ta được \(A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0\)
Cho \(M = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2}\) và \(N = {76^2} + {74^2} + {72^2} + ... + {2^2}\)
Tính giá trị của biểu thức \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}}\)
-
A.
\(10\)
-
B.
\(30\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(100\)
Đáp án : C
Xét hiệu \(M - N\) rồi sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Sử dụng tổng \(m\) số tự nhiên \(1,2,3,...,m\) là \(\dfrac{{\left( {m + 1} \right)m}}{2}\)
Xét \(M - N = {77^2} + {75^2} + {73^2} + ... + {3^2} + {1^2} - \left( {{{76}^2} + {{74}^2} + {{72}^2} + ... + {2^2}} \right)\)
\( = \left( {{{77}^2} - {{76}^2}} \right) + \left( {{{75}^2} - {{74}^2}} \right) + \left( {{{73}^2} - {{71}^2}} \right) + ... + \left( {{3^2} - {2^2}} \right) + {1^2}\)
\( = \left( {77 + 76} \right)\left( {77 - 76} \right) + \left( {75 + 74} \right)\left( {75 - 74} \right) + ... + \left( {3 + 2} \right)\left( {3 - 2} \right) + 1\)
\( = \left( {77 + 76} \right).1 + \left( {75 + 74} \right).1 + ... + \left( {3 + 2} \right).1 + 1\)
\( = 77 + 76 + 75 + 74 + 73 + ... + 3 + 2 + 1\)
\( = \dfrac{{77 + 1}}{2}.77 = 3003\)
Từ đó \(\dfrac{{M - N - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3003 - 3}}{{3000}} = \dfrac{{3000}}{{3000}} = 1\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = - b = - c\)
-
B.
\(a = b = \dfrac{c}{2}\)
-
C.
\(a = 2b = 3c\)
-
D.
\(a = b = c\)
Đáp án : D
Biến đổi để sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc,\)\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Sử dụng \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,\forall a,b\) và \({A^2} + {B^2} \ge 0;\,\forall A,B\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B = 0\)
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} = 3\left( {ab + bc + ac} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc = 3ab + 3ac + 3bc\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc = 0\)
\( \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\)
Lại thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Nên \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\a = c\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c\)
Nhà bạn Minh và bạn An cùng trồng bắp cải trên hai mảnh vườn hình vuông khác nhau. Các cây bắp cải được cách đều nhau. Do vườn nhà bạn Minh lớn hơn nên số cây bắp cải trồng được lớn hơn vườn nhà bạn An là \(211\) cây. Hỏi nhà bạn Minh đã trồng bao nhiêu cây bắp cải?
-
A.
\(106\) cây
-
B.
\(11025\) cây
-
C.
\(11236\) cây
-
D.
\(105\) cây
Đáp án : C
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)
Và số nguyên tố là số có 2 ước là 1 và chính nó.
Gọi số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn Minh là \(y\) cây \(\left( {y \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Và số cây bắp cải trồng trên mỗi cạnh của vườn hình vuông nhà bạn An là \(x\) cây \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)
Suy ra số cây bắp cải trồng được trên vườn nhà Minh là \({y^2}\) cây
Số cây bắp cải trồng trên vườn nhà An là \({x^2}\) cây
Theo bài ra ta có \({y^2} - {x^2} = 211\) \( \Leftrightarrow \left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 211\)
Mà \(211\) là số nguyên tố và \(y - x < y + x\) nên ta có \(\left( {y - x} \right)\left( {y + x} \right) = 1.211\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}y - x = 1\,\,\,\left( 1 \right)\\y + x = 211\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) suy ra \(y = x + 1\), thay xuống (2) ta được \(x + 1 + x = 211 \Leftrightarrow 2x = 210 \Leftrightarrow x = 105\)
Suy ra \(y = 105 + 1 = 105 + 1 = 106\)
Vậy số cây bắp cải vườn nhà bạn Minh trồng là \({106^2} = 11236\) cây.
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 4,5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp) Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 6: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách đặt nhân tử chung Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 8: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm hạng tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 9: Phối hợp nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 10: Chia đơn thức cho đơn thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 12: Chia đa thức một biến đã sắp xếp Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài tập ôn tập chương 1 Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
Luyện tập và củng cố kiến thức Bài 1,2: Nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức Toán 8 với đầy đủ các dạng bài tập trắc nghiệm có đáp án và lời giải chi tiết
