
1. Định nghĩa:
Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm \(O\) cố định một khoảng không đổi \(r (r>0)\) được gọi là một mặt cầu tâm \(O\) bán kính \(r\).
Kí hiệu: \(S\left( {O;R} \right) = \left\{ {\left. M \right|OM = R} \right\}\)
* Cho mặt cầu \(S(O;r)\) và điểm \(A\) trong không gian.
- Nếu \(OA = r\) thì điểm \(A\) nằm trên mặt cầu
- Nếu \(OA < r\) thì điểm \(A\) nằm trong mặt cầu.
- Nếu \(OA > r\) thì điểm \(A\) nằm ngoài mặt cầu.
2. Tính chất:
Nếu điểm \(A\) ngoài mặt cầu \(S(O; r)\) thì:
- Qua \(A\) có vô số tiếp tuyến với mặt cầu.
- Độ dài các đoạn thẳng nối \(A\) với các tiếp điểm đều bằng nhau.
- Tập hợp các tiếp điểm là một đường tròn nằm trên mặt cầu.
3. Giao của mặt cầu với mặt phẳng
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(\left( P \right)\).
+ Nếu \(OH < R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(\left( P \right)\) theo đường tròn tâm \(H\) và bán kình \(r = \sqrt {{R^2} - O{H^2}} \).
+ Nếu \(OH = R\) thì \(\left( S \right)\) tiếp xúc \(\left( P \right)\) tại tiếp điểm \(H\).
+ Nếu \(OH > R\) thì \(\left( S \right)\) và \(\left( P \right)\) không có điểm chung.
Đặc biệt: Nếu \(OH = 0\left( {O \equiv H} \right)\) thì đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) được gọi là đường tròn lớn, \(\left( P \right)\) được gọi là mặt phẳng kính.
4. Giao của mặt cầu với đường thẳng.
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(O\), bán kính \(R\) và đường thẳng \(d\), gọi \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(d\).
+ Nếu \(OH < R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(d\) tại \(2\) điểm phân biệt.
+ Nếu \(OH = R\) thì \(\left( S \right)\) cắt \(d\) tại một điểm duy nhất \(H\). (\(d\) là tiếp tuyến với mặt cầu, \(H\) là tiếp điểm)
+ Nếu \(OH > R\) thì \(\left( S \right)\) và \(d\) không có điểm chung.
5. Tiếp tuyến với mặt cầu (Đọc thêm)
- Qua một điểm nằm trong mặt cầu không vẽ được tiếp tuyến nào với mặt cầu.
- Qua một điểm nằm trên mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu tại điểm đó. Tập hợp các tiếp tuyến chính là mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu.
- Qua một điểm nằm ngoài mặt cầu vẽ được vô số tiếp tuyến với mặt cầu. Tập hợp các tiếp điểm với mặt cầu là đường tròn nằm trên mặt cầu.
6. Công thức diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn đi qua hai điểm cố định A và B cho trước...
Hãy xác định đường tròn giao tuyến của mặt cầu S(O; r)...
Cho hình lập phương ngoại tiếp mặt cầu bán kính r cho trước...
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu:...
Tìm tập hợp tất cả các điểm trong không gian luôn luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một góc vuông.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
Tìm tập hợp tâm các mặt cầu luôn luôn chứa một đường tròn cố định cho trước
Tìm tập hợp tâm những mặt cầu luôn cùng tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác cho trước.
Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
Gọi mặt cầu S(O; r) tiếp xúc với (P) tại I. Gọi M là một điểm nằm trên mặt cầu nhưng không phải là điểm đối xứng với I qua tâm O
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp cạnh đối diện tứ diện bằng nhau.
Cho một điểm A cố định và một đường thẳng α cố định không đi qua A. Gọi O là một điểm thay đổi trên α.
Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc.
>> Xem thêm
Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?
Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!
Họ và tên:
Email / SĐT: