Bài 5 trang 49 SGK Hình học lớp 12

Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

Giải bài 5 trang 49 SGK Hình học lớp 12. Từ một điểm M nằm nằm bên ngoài mặt cầu S( O; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

Đề bài

Từ một điểm \(M\) nằm nằm bên ngoài mặt cầu \(S( O; r)\) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại \(A, B\) và \(C, D\).

a) Chứng minh rằng \(MA.MB = MC.MD\).

b) Gọi \(MO = d\). Tính \(MA.MB\) theo \(r\) và \(d\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng các tam giác đồng dạng để chứng minh các tỉ lệ giữa các cạnh. Từ đó suy ra tích cần chứng minh.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tỉ lệ vừa chứng minh ở câu a để tính đại lượng cần tính.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi \((P)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng đã cho. Mặt phẳng\((P)\) cắt mặt cầu \(S(O;r)\) theo một đường tròn tâm \(I\), là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên mặt phẳng \((P)\).

Xét hai tam giác \(MAD\) và \(MCB\) có:

+) \(\widehat B = \widehat D\) (Hai góc cùng chắn một cung)

+) \(\widehat M\) chung

\( \Rightarrow \Delta MAD\) đồng dạng với \(\Delta MCB.\)

\(\Rightarrow{{MA} \over {MC}} = {{MD} \over {MB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Rightarrow MA.MB=MC.MD \, \, \, (dpcm)\)

b) Đặt \(MO = d\), ta có \(OI\) vuông góc với \((P)\) và ta có:

\(O{M^2} = M{I^2} = O{I^2};O{A^2} = O{I^2} + I{A^2}\)

Hạ \(IH\) vuông góc \(AB\), ta có \(H\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(MA = MH - HA\); \(MB = MH + HB = MH + HA\).

\(MA.MB = M{H^2} - H{A^2}\)

                 \(\eqalign{
& = (M{H^2} + H{I^2}) - (H{A^2} + I{H^2}) \cr
& = M{I^2} - I{A^2} \cr
& = (M{I^2} + O{I^2}) - (I{A^2} + O{I^2}) \cr
& = O{M^2} - O{A^2} \cr
& = {d^2} - {r^2} \cr} \)

Vậy \(MA.MB = {d^2} - {r^2}\).

loigiaihay.com

 


Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu

Các bài liên quan