Bài 2 trang 49 SGK Hình học lớp 12


Giải bài 2 trang 49 SGK Hình học lớp 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng đính lý Pi-ta-go để tính các cạnh và tìm tâm, tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I = AC ∩ BD\). 

Ta có ABCD là hình vuông cạnh \(a\) nên ta có:  \(AC = BD = AB\sqrt 2  = a\sqrt 2 .\)

\(\Delta ASC\) có \(S{A^2} + S{C^2} = {a^2} + {a^2} = 2{a^2} = A{C^2}\) nên là tam giác vuông cân tại \(S\).

Tương tự tam giác SBD cũng vuông cân tại S.

\( \Rightarrow \frac{1}{{S{I^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\) \( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow SI = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(SABCD\) có tâm \(I\) và bán kính \(R= \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Cách khác:

Có thể tính IS như sau:

\(IS = \sqrt {S{A^2} - A{I^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \frac{{2{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Từ đó ta cũng kết luận được I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính bằng \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.7 trên 12 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2. Mặt cầu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài