Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian

Bình chọn:
3.8 trên 6 phiếu

Hệ tọa độ Đề-các trong không gian.

1. Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc \(O\), đôi một vuông góc với nhau \(x'Ox ; y'Oy ; z'Oz\). Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc \(Oxyz\); \(O\) là gốc tọa tọa độ. Giả sử \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(x'Ox, y'Oy, z'Oz\) (h. 52)

Với điểm \(M\) thuộc không gian \(Oxyz\) thì tồn tại duy nhất bộ số \((x ; y ; z)\) để

\(\overrightarrow{OM}= x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}\),

bộ \((x ; y ; z)\) được gọi là tọa độ của điểm \(M(x ; y ; z)\).

Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow{a}\), khi đó \(\overrightarrow{a}= a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}\)

Ta viết \(\overrightarrow{a}\)(a1 ; a2 ; a3) và nói \(\overrightarrow{a}\) có các tọa độ (a1 ; a2 ; a3) .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giả sử \(\overrightarrow{a}\)= (a1 ; a2 ; a3) và \(\overrightarrow{b}\) = (b1 ; b2 ; b3), thì:

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) = (a1 + b1 ; a2 + b2 ; a3 + b3 ).

\(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) = (a1 - b1 ; a2 - b2 ; a3 - b3 ).

\( k.\overrightarrow{a}\) = (ka1 ; k a2 ; ka3).

3. Tích vô hướng.

Cho \(\overrightarrow{a}\)(a1 ; a2 ; a3) và \(\overrightarrow{b}\) (b1 ; b2 ; b3) thì tích vô hướng \(\overrightarrow{a}\).\(\overrightarrow{b}\) = a­1.b1 + a2.b2 + a3.b3.

Ta có: \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\)

Đặt \(\varphi =\left (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right )\) , 0 ≤ \(\varphi\) ≤ 1800  thì \(cos\varphi =\dfrac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\) (với \(\overrightarrow{a}\) ≠ \(\overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\)≠ \(\overrightarrow{0}\))

4. Phương trình mặt cầu.

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \((S)\) tâm \(I(a ; b ; c)\) bán kính \(R\) có phương trình chính tắc \[{\left( {x - a} \right)^{2\;}} + {\left( {y-b} \right)^2} + {\left( {z-c} \right)^2}\; = {R^2}\]

Mặt cầu có phương trình tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.