Giải bài 5 trang 68 SGK Hình học 12


Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu.

Video hướng dẫn giải

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

LG a

a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

Phương pháp giải:

Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\), suy ra tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\).

Cách 2: Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {-a;-b;-c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có phương trình :

\(\begin{array}{l}
\quad {x^2} + {y^2} + {z^2} - 8x - 2y + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 8x + {y^2} - 2y + {z^2} + 1 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 2y + 1 + {z^2} = 16\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {z^2} = 16
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\)

Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\).

Cách 2: Ta có: 

\(\begin{array}{l}
2a = - 8;\;2b = - 2;\;2c = 0;\;d = 1\\
\Rightarrow a = - 4;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b = - 1;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d = 1\\
{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {\left( { - 4} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + 0 - 1 = 16
\end{array}\)

 do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\), bán kính \(R=4\).

LG b

b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1

Ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}
\quad 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3{y^2} + 8y + 3{z^2} + 15z - 3 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} - 2x + {y^2} + \frac{8}{3}y + {z^2} + 5z - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left[ {{y^2} + 2.\frac{4}{3}y + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2}} \right] \\+ \left[ {{z^2} + 2.\frac{5}{2}z + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} \right] - 1 - 1 - {\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} - {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{361}}{{36}} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{19}}{6}} \right)^2}
\end{array}\)

Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\dfrac{4}{3};-\dfrac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \dfrac{19}{6}\).

Cách 2: 

Xét phương trình \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0}\\
{{\rm{Ta \, có : }}2a = - 1;\;2b = \frac{8}{3};\;2c = 5;\;d = - 1}\\
{ \Rightarrow a = - 1;b = \frac{4}{3};c = \frac{5}{2};d = - 1}\\
{{R^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( {\frac{4}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 1 = \frac{{361}}{{36}} = {{\left( {\frac{{19}}{6}} \right)}^2}}
\end{array}\)

do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(J\left( {1; - \dfrac{4}{3}; - \dfrac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{19}}{6}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 19 phiếu

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.