Bài 5 trang 68 SGK Hình học 12

Bình chọn:
2.7 trên 9 phiếu

Giải bài 5 trang 68 SGK Hình học 12. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu.

Đề bài

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ;

b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cách 1: Đưa phương trình về dạng phương trình chính tắc: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\), suy ra tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính bằng \(R\).

Cách 2: Phương trình có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\,\,\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0} \right)\) là phương trình mặt cầu có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết

a)

Cách 1: Ta có phương trình : \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\)

Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\).

Cách 2: Ta có: \(a = 4;\,\,b = 1;\,\,c = 0  ;\,\,d = 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 16 > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {4;1;0} \right)\), bán kính \(R=4\).

b)

Cách 1: Ta có phương trình:

 \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)     

\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{  - }}2x + {8 \over 3}y + 5z{\rm{  - }}1 = 0\)

\(⇔ (x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2}= (\frac{19}{6})^{2}\).

Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \frac{19}{6}\).

Cách 2: 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x + 8y + 15z - 3 = 0\\\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + \frac{8}{3}y + 5z - 1 = 0
\end{array}\)

Ta có: \(a = 1;\,\,b =  - \frac{4}{3};\,\,c =  - \frac{5}{2};\,\,d =  - 1 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - d = \frac{{336}}{{36}} > 0\) do đó đây là phương trình mặt cầu tâm \(J\left( {1; - \frac{4}{3}; - \frac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \frac{{19}}{6}\).

loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Các bài liên quan: - Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2019, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn. Các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu