Lý thuyết hệ tọa độ trong không gian

Hệ tọa độ Đề-các trong không gian.

1. Hệ tọa độ trong không gian

Trong không gian cho ba trục tọa độ chung gốc \(O\), đôi một vuông góc với nhau \(x'Ox ; y'Oy ; z'Oz\). Hệ ba trục tọa độ như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc \(Oxyz\); \(O\) là gốc tọa tọa độ. Giả sử \(\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\) lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục \(x'Ox, y'Oy, z'Oz\) (h. 52)

Với điểm \(M\) thuộc không gian \(Oxyz\) thì tồn tại duy nhất bộ số \((x ; y ; z)\) để

\(\overrightarrow{OM}= x.\overrightarrow{i}+y.\overrightarrow{j}+z.\overrightarrow{k}\),

bộ \((x ; y ; z)\) được gọi là tọa độ của điểm \(M(x ; y ; z)\).

Trong không gian Oxyz cho vectơ \(\overrightarrow{a}\), khi đó \(\overrightarrow{a}= a_{1}\overrightarrow{i}+a_{2}\overrightarrow{j}+a_{3}\overrightarrow{k}\)

Ta viết \(\overrightarrow{a}\)\(({a_1};{a_2};{a_3})\) và nói \(\overrightarrow{a}\) có tọa độ \(({a_1};{a_2};{a_3})\) .

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Giả sử \(\overrightarrow{a}\)= \(({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow{b}\) = \(({b_1};{b_2};{b_3})\), thì:

\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\) \(= ({a_{1\;}} + {b_1};{a_2}\; + {\rm{ }}{b_2};{\rm{ }}{a_3} + {b_3}\;).\)

\(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) \( = ({a_{1\;}} - {b_1};{a_2}\; - {\rm{ }}{b_2};{\rm{ }}{a_3} - {b_3}\;).\)

\( k.\overrightarrow{a}\) \( = (k{a_1};k{a_2};k{a_3}).\)

3. Tích vô hướng

Cho \(\overrightarrow{a}\)\(({a_1};{a_2};{a_3})\) và \(\overrightarrow{b}\) \(({b_1};{b_2};{b_3})\) thì tích vô hướng \(\overrightarrow{a}\).\(\overrightarrow{b}\) \( = \;{a_1}.{b_1}\; + {\rm{ }}{a_2}.{b_2}\; + {\rm{ }}{a_3}.{b_3}\)

Ta có: \(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}.\)

Đặt \(\varphi =\left (\widehat{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} \right )\) , 0 ≤ \(\varphi\) ≤ 180⁰thì \(cos\varphi =\dfrac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3} }{\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}\sqrt{b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}}}\) (với \(\overrightarrow{a}\) ≠ \(\overrightarrow{0}\), \(\overrightarrow{b}\)≠ \(\overrightarrow{0}\))

4. Phương trình mặt cầu

Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu \((S)\) tâm \(I(a ; b ; c)\) bán kính \(R\) có phương trình chính tắc \[{\left( {x - a} \right)^{2\;}} + {\left( {y-b} \right)^2} + {\left( {z-c} \right)^2}\; = {R^2}\]

Mặt cầu có phương trình tổng quát \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2ax + 2by + 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( { - a; - b; - c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)