Bài 3.9 trang 104 SBT hình học 12


Giải bài 3.9 trang 104 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho một vecto tùy ý khác vecto...

Đề bài

Trong không gian Oxyz cho một vecto \(\overrightarrow a \) tùy ý khác vecto \(\overrightarrow 0 \). Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto \(\overrightarrow a \). Chứng minh rằng:  \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng véc tơ đơn vị \(\overrightarrow {{a_0}} \) cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \)

- Dựng điểm \({A_0}\) sao cho \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm \({A_1},{A_2},{A_3}\) lần lượt là hình chiếu của \({A_0}\) lên các trục tọa độ.

- Tính \(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \) và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow {{a_0}} \) là vecto đơn vị cùng hướng với vecto \(\overrightarrow a \), ta có \(\overrightarrow {{a_0}}  = \dfrac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \).

Gọi \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}} \) và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:  \(\) \(\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_1}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \alpha ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_2}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}|} }} = \cos \beta ,\dfrac{{|\overrightarrow {O{A_3}} |}}{{|\overrightarrow {O{A_0}} |}} = \cos \gamma \)

Vì  \(|\overrightarrow {O{A_0}} | = 1\) nên  \(|\overrightarrow {O{A_1}} | = \cos \alpha ,|\overrightarrow {O{A_2}} | = \cos \beta ,|\overrightarrow {O{A_3}} | = \cos \gamma \)

Ta có \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {O{A_1}}  + \overrightarrow {O{A_2}}  + \overrightarrow {O{A_3}} \)  , ta suy ra:  \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \cos \alpha \overrightarrow i  + \cos \beta \overrightarrow j  + \cos \gamma \overrightarrow k \) hay  \(\overrightarrow {O{A_0}}  = (\cos \alpha ;\cos \beta ;\cos \gamma )\).

Vì  \(\overrightarrow {O{A_0}}  = \overrightarrow {{a_0}} \)  mà \(|\overrightarrow {{a_0}} | = 1\) nên ta có: \({\cos ^2}\alpha  + {\cos ^2}\beta  + {\cos ^2}\gamma  = 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài