Bài 3.7 trang 103 SBT hình học 12


Giải bài 3.7 trang 103 sách bài tập hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)

b) \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Xen điểm thích hợp chứng minh đẳng thức véc tơ.

Lời giải chi tiết

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì  \(\overrightarrow {MP}  = \overrightarrow {QN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {CD} \) và \(\overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {PN}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} \).

Do đó  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {MP}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} + \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\)  hay  \(2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD} \)      (1)

Mặt khác  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} \)

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BD} \)

Nên  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} \)           (2)

Vì \(\overrightarrow {DB}  =  - \overrightarrow {BD} \)

Từ (1) và (2) ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB}  = 2\overrightarrow {MN} \)  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  - \overrightarrow {MP}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{2} - \dfrac{{\overrightarrow {CD} }}{2}\)

Do đó:  \(2\overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD} \)        (3)

Mặt khác:  \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} \)

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BC} \)

Nên \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD} \)             (4)

Vì  \(\overrightarrow {CB}  - ( - \overrightarrow {BC} ) = \overrightarrow 0 \)

Từ (3) và (4) ta suy ra  \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BD}  = 2\overrightarrow {PQ} \) là đẳng thức cần chứng minh.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài