Bài 3.10 trang 104 SBT hình học 12


Giải bài 3.10 trang 104 sách bài tập hình học 12. Cho hình tứ diện ABCD....

Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xen điểm thích hợp vào từng cặp tích vô hướng.

- Cộng các tích vô hướng và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Ta có  \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)   (1)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)         (2)

\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)        (3)

Lấy  (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí:  “Nếu tứ diện ABCD có  \(AB \bot CD,AC \bot DB\) , nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  = 0\) thì \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)  và do đó  \(AD \bot BC\).”

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài