Bài 3.10 trang 104 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hình tứ diện ABCD.

a) Chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xen điểm thích hợp vào từng cặp tích vô hướng.

- Cộng các tích vô hướng và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

a) Ta có  \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} (\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} ) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)   (1)

\(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  = \overrightarrow {AC} (\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} ) = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} \)         (2)

\(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} (\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} ) = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \)        (3)

Lấy  (1) + (2) + (3) ta có hệ thức cần chứng minh là:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)

b) Từ hệ thức trên ta suy ra định lí:  “Nếu tứ diện ABCD có  \(AB \bot CD,AC \bot DB\) , nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\) và \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB}  = 0\) thì \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  = 0\)  và do đó  \(AD \bot BC\).”

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.