Bài 3.13 trang 104 SBT hình học 12


Giải bài 3.13 trang 104 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: ...

Đề bài

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là: 

A(a; 0 ; 0), B(0; b; 0) , C(0; 0; c)

Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}\) và nhận xét nếu \(\cos \alpha  > 0\) thì \(\alpha \) nhọn.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = ( - a;b;0)\) và \(\overrightarrow {AC}  = ( - a;0;c)\)

\(\begin{array}{l}
\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BAC} < {90^0}\\
\overrightarrow {BA} = \left( {a; - b;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - b;c} \right)\\
\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} = \dfrac{{{b^2}}}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {ABC} < {90^0}\\
\overrightarrow {CA} = \left( {a;0; - c} \right),\overrightarrow {CB} = \left( {0; - b; - c} \right)\\
\Rightarrow \cos \widehat {BCA} = \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right)\\
= \dfrac{{\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} }}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} = \dfrac{{{c^2}}}{{\left| {\overrightarrow {CA} } \right|.\left| {\overrightarrow {CB} } \right|}} > 0\\
\Rightarrow \widehat {BCA} < {90^0}
\end{array}\)

Vậy tam giác ABC có ba góc nhọn.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài